【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線經(jīng)過A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(1,0)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,△AMB的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線y=﹣x上的動(dòng)點(diǎn),判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2+x﹣2;(2)S=﹣m2﹣2m(﹣2<m<0),S的最大值為1;(3)點(diǎn)Q坐標(biāo)為:(﹣2,2)或(﹣1+,1﹣)或(﹣1﹣,1+)或(2,﹣2).
【解析】
(1)設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為:y=ax2+bx+c,將A,B,C三點(diǎn)代入y=ax2+bx+c,列方程組求出a、b、c的值即可得答案;
(2)如圖1,過點(diǎn)M作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D,M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且點(diǎn)M在第三象限的拋物線上,設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,m2+m﹣2),﹣2<m<0,由A、B坐標(biāo)可求出直線AB的解析式為y=﹣x﹣2,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,﹣m﹣2),即可求出MD的長度,進(jìn)一步求出△MAB的面積S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最大值;
(3)設(shè)P(x,x2+x﹣2),分情況討論,①當(dāng)OB為邊時(shí),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB,且PQ=OB,則Q(x,﹣x),可列出關(guān)于x的方程,即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);②當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí),OQ∥BP,A與P應(yīng)該重合,OP=2,四邊形PBQO為平行四邊形,則BQ=OP=2,Q橫坐標(biāo)為2,即可寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
(1)設(shè)此拋物線的函數(shù)解析式為:y=ax2+bx+c,
將A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(1,0)三點(diǎn)代入,得,
解得:,
∴此函數(shù)解析式為:y=x2+x﹣2.
(2)如圖,過點(diǎn)M作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D,
∵M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,且點(diǎn)M在第三象限的拋物線上,
∴設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,m2+m﹣2),﹣2<m<0,
設(shè)直線AB的解析式為y=kx﹣2,
把A(﹣2,0)代入得,-2k-2=0,
解得:k=﹣1,
∴直線AB的解析式為y=﹣x﹣2,
∵MD∥y軸,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,﹣m﹣2),
∴MD=﹣m﹣2﹣(m2+m﹣2)=﹣m2﹣2m,
∴S△MAB=S△MDA+S△MDB
=MDOA
=×2(m2﹣2m)
=﹣m2﹣2m
=﹣(
∵﹣2<m<0,
∴當(dāng)m=﹣1時(shí),S△MAB有最大值1,
綜上所述,S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式是S=﹣m2﹣2m(﹣2<m<0),S的最大值為1.
(3)設(shè)P(x,x2+x﹣2),
①如圖,當(dāng)OB為邊時(shí),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)知PQ∥OB,且PQ=OB,
∴Q的橫坐標(biāo)等于P的橫坐標(biāo),
∵直線的解析式為y=﹣x,
則Q(x,﹣x),
由PQ=OB,得|﹣x﹣(x2+x﹣2)|=2,
即|﹣x2﹣2x+2|=2,
當(dāng)﹣x2﹣2x+2=2時(shí),x1=0(不合題意,舍去),x2=﹣2,
∴Q(﹣2,2),
當(dāng)﹣x2﹣2x+2=﹣2時(shí),x1=﹣1+,x2=﹣1﹣,
∴Q(﹣1+,1﹣)或(﹣1﹣,1+),
②如圖,當(dāng)BO為對(duì)角線時(shí),OQ∥BP,
∵直線AB的解析式為y=-x-2,直線OQ的解析式為y=-x,
∴A與P重合,OP=2,四邊形PBQO為平行四邊形,
∴BQ=OP=2,點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2,
把x=2代入y=﹣x得y=-2,
∴Q(2,﹣2),
綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣2,2)或(﹣1+,1﹣)或(﹣1﹣,1+)或(2,﹣2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),AC=AB,BC為⊙O的直徑.
(1)在圖1直徑BC上方的圓弧上找一點(diǎn)P,使得PA=PB;(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)連接PA,求證:PA是⊙O的切線;
(3)在(1)的條件下,連接PC、PB,∠PAB的平分線分別交PC、PB于點(diǎn)D、E.求的值.
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【題目】四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC為對(duì)角線,∠ACB=∠ACD
(1)如圖1,求證:AB=AD;
(2)如圖2,點(diǎn)E在AB弧上,DE交AC于點(diǎn)F,連接BE,BE=DF,求證:DF=DC;
(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)G在BC弧上,連接DG,交CE于點(diǎn)H,連接GE,GF,若DE=BC,EG=GH=5,S△DFG=9,求BC邊的長.
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【題目】已知二次函數(shù)y=2x2+bx﹣6的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,﹣6),若這個(gè)二次函數(shù)與x軸交于A.B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,求出△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,已知是等腰直角三角形,,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)作正方形DEFG,使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上,連接AE,BG.
試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是______;
將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),
判斷中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)利用圖2證明你的結(jié)論;
若,當(dāng)AE取最大值時(shí),求AF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形的邊長為1,為射線上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)重合),點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,連接,,,.當(dāng)是等腰三角形時(shí),的值為__________.
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【題目】以線段AC為對(duì)角線的四邊形ABCD(它的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D按順時(shí)針方向排列),已知AB=BC=CD,∠ABC=100°,∠CAD=40°,則∠BCD的度數(shù)為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲地到乙地有A,B,C三條不同的公交線路.為了解早高峰期間這三條線路上的公交車從甲地到乙地的用時(shí)情況,在每條線路上隨機(jī)選取了500個(gè)班次的公交車,收集了這些班次的公交車用時(shí)(單位:分鐘)的數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)如下:
公交車用時(shí) 公交車用時(shí)的頻數(shù) 線路 | 合計(jì) | ||||
A | 59 | 151 | 166 | 124 | 500 |
B | 50 | 50 | 122 | 278 | 500 |
C | 45 | 265 | 167 | 23 | 500 |
早高峰期間,乘坐_________(填“A”,“B”或“C”)線路上的公交車,從甲地到乙地“用時(shí)不超過45分鐘”的可能性最大.
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