【題目】如圖①,點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使OG2ODOE2OC,然后以OG、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,DE.

(1)求證:DEAG

(2)正方形ABCD固定,將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°α360°)得到正方形OEFG,如圖②.

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)∠OAG是直角時(shí),求α的度數(shù);

②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,求AF長(zhǎng)的最大值和此時(shí)α的度數(shù),直接寫(xiě)出結(jié)果不必說(shuō)明理由.

【答案】1)見(jiàn)解析 2α30°150° ,α315°.

【解析】試題分析: (1)延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H,易證△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后運(yùn)用等量代換證明∠AHE=90°即可;

(2)①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,∠OAG′成為直角有兩種情況:α由0°增大到90°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),α=30°,α由90°增大到180°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),α=150°;

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時(shí),AF′的長(zhǎng)最大,AF′=AO+OF′=+2,此時(shí)α=315°.

試題解析:

(1)如圖1,延長(zhǎng)EDAG于點(diǎn)H,

∵點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),

OA=OD,OAOD,

OG=OE,

AOGDOE中,

,

AOGDOE,

∴∠AGO=DEO,

∵∠AGO+GAO=90°

∴∠GAO+DEO=90°,

∴∠AHE=90°,

DEAG

(2)①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,OAG′成為直角有兩種情況:

(0°增大到90°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),

OA=OD=OG=OG′,

∴在RtOAG′,sinAG′O==

∴∠AG′O=30°,

OAOD,OAAG′,

ODAG′,

∴∠DOG′=AG′O=30°,

α=30°;

(90°增大到180°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),

同理可求∠BOG′=30°,

α=180°30°=150°.

綜上所述,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),α=30°150°.

②如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A.O、F′在一條直線上時(shí),AF′的長(zhǎng)最大,

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1

OA=OD=OC=OB=,

OG=2OD,

OG′=OG=,

OF′=2,

AF′=AO+OF′=+2,

∵∠COE′=45°,

∴此時(shí)α=315°.

點(diǎn)睛: 本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義,掌握正方形的四條邊相等、四個(gè)角相等,旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,注意特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用.

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