Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn).

（1）求該拋物線的解析式；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）設(shè)拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在該拋物線上滑動(dòng)到什么位置時(shí)，滿足，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在；M（1，﹣2）；（3）（1+2，4）或（1﹣2 ，4）或（1，﹣4）.

【解析】

（1）由于拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，那么可以得到方程x2+bx+c=0的兩根為x=-1或x=3，然后利用根與系數(shù)即可確定b、c的值；

（2）點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M，要使MA+MC的值最小，則點(diǎn)M就是BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，把拋物線對(duì)稱軸x=1代入即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)S△PAB=8，求得P的縱坐標(biāo)，把縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

∴方程x2+bx+c=0的兩根為x=﹣1或x=3，

∴﹣1+3=﹣b，

﹣1×3=c，

∴b=﹣2，c=﹣3，

∴二次函數(shù)解析式是y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)M為BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)，MA+MC的值最小，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t（k≠0），

則，解得：，

∴直線AC的解析式為y=x﹣3，

∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣2，

∴拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M（1，﹣2）符合題意；

（3）設(shè)P的縱坐標(biāo)為|yP|，

∵S△PAB=8，

∴AB|yP|=8，

∵AB=3+1=4，

∴|yP|=4，

∴yP=±4，

把yP=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，

解得，x=1±2，

把yP=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，

解得，x=1，

∴點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）時(shí)，滿足S△PAB=8．