Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠A=30°．
（1）若∠ABD=120°，CD⊥BD，求證：CD是⊙O的切線；
（2）若AC=2

3

，求劣弧

AC

的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,弧長的計(jì)算

專題：

分析：（1）連接OC，BC，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB為直角，又∠BAC=30°，得到∠ABC=60°，再由OC=OB，利用等邊對等角得到∠OBC=∠OCB，得到∠OCB的度數(shù)為60°，又∠ABD=120°，利用∠ABD-∠ABC求出∠CBD的度數(shù)，在直角三角形BCD中，求出∠BCD的度數(shù)為30°，可得出∠OCD為直角，即CD與OC垂直，即可得出CD為圓O的切線，得證；
（2）通過解直角△ABC可以求得斜邊AB的長度，利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得圓的半徑OA，則利用弧長公式進(jìn)行解答即可．

解答：解：（1）證明：連接BC，如圖所示．
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，又∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∵∠ABD=120°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴CD⊥OC，
則CD為圓O的切線；

（2）∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
又∵∠A=30°，AC=2

3

，
∴AB=

AC

cos30°

=

2 3

3 2

=4，
又點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，
∴OA=

1

2

AB=2．
∵∠AOC=180°-2∠A=120°，
∴劣弧

AC

的長為：

120π×2

180

=

4

3

π．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，切線的證明方法有兩種：有點(diǎn)連接，證明垂直；無點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于圓的半徑．