【題目】如圖1,對稱軸為直線x= 的拋物線經(jīng)過B(2,0)、C(0,4)兩點,拋物線與x軸的另一交點為A
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點,設(shè)四邊形COBP的面積為S,求S的最大值;
(3)如圖2,若M是線段BC上一動點,在x軸是否存在這樣的點Q,使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形?若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:由對稱性得:A(﹣1,0),
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x+1)(x﹣2),
把C(0,4)代入:4=﹣2a,
a=﹣2,
∴y=﹣2(x+1)(x﹣2),
∴拋物線的解析式為:y=﹣2x2+2x+4;
(2)解:如圖1,設(shè)點P(m,﹣2m2+2m+4),過P作PD⊥x軸,垂足為D,
∴S=S梯形+S△PDB= m(﹣2m2+2m+4+4)+ (﹣2m2+2m+4)(2﹣m),
S=﹣2m2+4m+4=﹣2(m﹣1)2+6,
∵﹣2<0,
∴S有最大值,則S大=6;
(3)解:存在這樣的點Q,使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形,
理由是:
分以下兩種情況:
①當(dāng)∠BQM=90°時,如圖2:
∵∠CMQ>90°,
∴只能CM=MQ.
設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+b(k≠0),
把B(2,0)、C(0,4)代入得: ,
解得: ,
∴直線BC的解析式為:y=﹣2x+4,
設(shè)M(m,﹣2m+4),
則MQ=﹣2m+4,OQ=m,BQ=2﹣m,
在Rt△OBC中,BC= = =2 ,
∵M(jìn)Q∥OC,
∴△BMQ∽BCO,
∴ ,即 ,
∴BM= (2﹣m)=2 ﹣ m,
∴CM=BC﹣BM=2 ﹣(2 ﹣ m)= m,
∵CM=MQ,
∴﹣2m+4= m,m= =4 ﹣8.
∴Q(4 ﹣8,0).
②當(dāng)∠QMB=90°時,如圖3,
同理可設(shè)M(m,﹣2m+4),
過A作AE⊥BC,垂足為E,
∴∠EAB=∠OCB,
∴sin∠EAB= ,
∴ ,
∴BE= ,
過E作EF⊥x軸于F,
sin∠CBO= ,
∴ ,
∴EF= ,
由勾股定理得:BF= = ,
∴OF=2﹣ = ,
∴E( , ),
由A(﹣1,0)和E( , )可得:
則AE的解析式為:y= x+ ,
則直線BC與直線AE的交點E(1.4,1.2),
設(shè)Q(﹣x,0)(x>0),
∵AE∥QM,
∴△ABE∽△QBM,
∴ ①,
由勾股定理得:x2+42=2×[m2+(﹣2m+4﹣4)2]②,
由以上兩式得:m1=4(舍),m2= ,
當(dāng)m= 時,x= ,
∴Q(﹣ ,0).
綜上所述,Q點坐標(biāo)為(4 ﹣8,0)或(﹣ ,0).
【解析】(1)首先依據(jù)點A與點B關(guān)于x=對稱求得點A的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求求得拋物線的解析式即可;
(2)設(shè)點P(m,﹣2m2+2m+4),過P作PD⊥x軸,垂足為D,然后得到S與m的函數(shù)關(guān)系式,接下來,依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得S的最大值即可;
(3)分為∠BQM=90°和∠QMB=90°兩種情況畫出圖像,當(dāng)∠BQM=90°時,先證明△BMQ∽BCO,然后再依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方出求解即可;當(dāng)∠QMB=90°時,過A作AE⊥BC,垂足為E,過E作EF⊥x軸于F,然后證明△ABE∽△QBM,然后再依據(jù)似三角形的性質(zhì)列方出求解即可.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】探索規(guī)律,觀察下面由※組成的圖案和算式,并解答問題.
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
(1)試寫出1+3+5+7+9+…+19= ;
(2)試寫出1+3+5+7+9+…+(2n﹣1)= ;
(3)請用上述規(guī)律計算:
①101+103+105+107+…+2017+2019;
②(2m+1)+(2m+3)+(2m+5)+…+(2n+7)(其中n>m)(列出代數(shù)式即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,E、F分別是邊AB、CD上的點,AE=CF,連接EF、BF,EF與對角線AC交于點O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求證:OE=OF;
(2)若BC=2 ,求AB的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若直線l1經(jīng)過點(0,4),l2經(jīng)過點(3,2),且l1與l2關(guān)于x軸對稱,則l1與l2的交點坐標(biāo)為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù),a≠0)經(jīng)過點A(﹣1,0),B(5,﹣5),C(6,0)
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖,在直線AB下方的拋物線上是否存在點P使四邊形PACB的面積最大?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)若點Q為拋物線的對稱軸上的一個動點,試指出使△QAB為等腰三角形的點Q一共有幾個?并請你求出其中一個點Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點、,且、兩點之間的距離等于(為大于0的已知數(shù)),在不計算的數(shù)值條件下,完成下列兩題:
(1)以學(xué)過的知識用一句話說出的理由;
(2)在軸上是否存在點,使是等腰三角形,如果存在,請寫出點的坐標(biāo),并求的面積;如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P(a,b),若點P′的坐標(biāo)為(a+kb,ka+b)(其中k為常數(shù),且k≠0),則稱點P′為點P的“k屬派生點”.
例如:P(1,4)的“2屬派生點”為P′(1+2×4,2×1+4),即P′(9,6).
(1)點P(-1,6)的“2屬派生點”P′的坐標(biāo)為_____________;
(2)若點P的“3屬派生點”P′的坐標(biāo)為(6,2),則點P的坐標(biāo)___________;
(3)若點P在x軸的正半軸上,點P的“k屬派生點”為P′點,且線段PP′的長度為線段OP長度的2倍,求k的值.
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【題目】閱讀與理解:
如圖,一只甲蟲在5×5的方格(每個方格邊長均為1)上沿著網(wǎng)格線爬行.若我們規(guī)定:在如圖網(wǎng)格中,向上(或向右) 爬行記為“+”,向下(或向左) 爬行記為“﹣”,并且第一個數(shù)表示左右方向,第二個數(shù)表示上下方向.
例如:從A到B記為:A→B(+1,+4),從D到C記為:D→C(﹣1,+2).
思考與應(yīng)用:
(1)圖中A→C( , ),B→C( , ),D→A( , )
(2)若甲蟲從A到P的行走路線依次為:(+3,+2)→(+1,+3)→(+1,﹣2),請在圖中標(biāo)出P的位置.
(3)若甲蟲的行走路線為A→(+1,+4)→(+2,0)→(+1,﹣2)→(﹣4,﹣2),請計算該甲蟲走過的總路程.
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