Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A₁、A₂、A₃…和點(diǎn)B₁、B₂、B₃…分別在直線y=kx+b和x軸上，△OA₁B₁、△B₁A₂B₂、△B₂A₃B₃…都是等腰直角三角形，如果A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），那么A₃的坐標(biāo)是（$\frac{29}{5}$，$\frac{9}{4}$），A₂₀₁₅的坐標(biāo)是（5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴-4，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴）．

Answer 1

分析 先求出直線y=kx+b的解析式，求出直線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過(guò)等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)向x軸作垂線，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜邊上的高線，即可得到A₃的坐標(biāo)，進(jìn)而得出各點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律．

解答 解：∵A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）在直線y=kx+b上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{\frac{7}{2}k+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{5}}\\{b=\frac{4}{4}}\end{array}\right.$，
∴直線解析式為y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$；
設(shè)直線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為N、M，
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{4}{5}$，
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$=0，解得x=-4，
∴點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為M（0，$\frac{4}{5}$），N（-4，0），
∴tan∠MNO=$\frac{MO}{NO}$=$\frac{\frac{4}{5}}{4}$=$\frac{1}{5}$，
作A₁C₁⊥x軸與點(diǎn)C₁，A₂C₂⊥x軸與點(diǎn)C₂，A₃C₃⊥x軸與點(diǎn)C₃，
∵A₁（1，1），A₂（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴OB₂=OB₁+B₁B₂=2×1+2×$\frac{3}{2}$=2+3=5，
tan∠MNO=$\frac{{A}_{3}{C}_{3}}{N{C}_{3}}$=$\frac{{A}_{3}{C}_{3}}{4+5+{B}_{3}{C}_{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∵△B₂A₃B₃是等腰直角三角形，
∴A₃C₃=B₂C₃，
∴A₃C₃=$\frac{9}{4}$=（$\frac{3}{2}$）²，
∴A₃C₃=B₂C₃=$\frac{9}{4}$，
∴OC₃=5+$\frac{9}{4}$=$\frac{29}{4}$，
∴A₃（$\frac{29}{4}$，$\frac{9}{4}$），
同理可求，第四個(gè)等腰直角三角形A₄C₄=$\frac{27}{8}$=（$\frac{3}{2}$）³，
依此類(lèi)推，點(diǎn)A_n的縱坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$）^n-1．
∴A₂₀₁₅的坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴，
代入y=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$得，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴=$\frac{1}{5}$x+$\frac{4}{5}$，
解得x=5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴-4，
∴A₂₀₁₅（5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴-4，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴），
故答案為：（$\frac{29}{4}$，$\frac{9}{4}$），（5×（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴-4，（$\frac{3}{2}$）²⁰¹⁴）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知一次函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．