Question

【題目】如圖①，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且PE=PA，PE交CD于F．

（1）求證： PC=PE；

（2）求∠CPE的度數(shù)；

（3）如圖②，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其它條件不變，若∠ABC=65°，則∠CPE=________度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）90°；（3）115°

【解析】試題分析：（1）先證出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；

（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，進(jìn)而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到結(jié)論；

（3）借助（1）和（2）的證明方法容易證明結(jié)論．

試題解析：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠EPC=90°；

（3）∠EPC=115°，

理由：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°．

∴∠CPE=180°-∠ABC=180°-65°=115°