Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、DC上，AE、AF分別交BD于點(diǎn)M、N，連接CN、EN，且CN＝EN．下列結(jié)論：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④圖中只有4對(duì)相似三角形，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】B

【解析】

①證明△NBA≌△NBC，∠ABE+∠ANE＝180°即可解決問題；

②證明△AFH≌△AFE即可；

③如圖2中，首先證明△AMN∽△AFE，可得，即可解決問題；

④相似三角形不止4對(duì)相似三角形．

將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH．

∵四邊形ABCD是中正方形，

∴AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，

在△BNA和△BNC中，

，

∴△NBA≌△NBC（SAS），

∴AN＝CN，∠BAN＝∠BCN，

∵EN＝CN，

∴AN＝EN，∠NEC＝∠NCE＝∠BAN，

∵∠NEC+∠BEN＝180°，

∴∠BAN+∠BEN＝180°，

∴∠ABC+∠ANE＝180°，

∴∠ANE＝90°，

∴AN＝NE，AN⊥NE，故①正確，

∴∠3＝∠AEN＝45°，

∵∠3＝45°，∠1＝∠4，

∴∠2+∠4＝∠2+∠1＝45°，

∴∠3＝∠FAH＝45°，∵AF＝AF，AE＝AH，

∴△AFE≌△AFH（SAS），

∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE，∠AFH＝∠AFE，故②正確，

∵∠MAN＝∠EAF，∠AMN＝∠AFE，

∴△AMN∽△AFE，

∴，

故③正確，

圖中相似三角形有△ANE∽△BAD～△BCD，△ANM∽△AEF，△ABN∽△FDN，△BEM∽△DAM等，故④錯(cuò)誤，

故選B．