【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=120°.將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部,且恰好平分∠BOC.問:此時(shí)直線ON是否平分∠AOC?請(qǐng)說明理由.
(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,第t秒時(shí),直線ON恰好平分銳角∠AOC,則t的值為(直接寫出結(jié)果).
(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部,求∠AOM﹣∠NOC的度數(shù).
【答案】
(1)解:直線ON平分∠AOC.理由:
設(shè)ON的反向延長線為OD,
∵OM平分∠BOC,
∴∠MOC=∠MOB,
又∵OM⊥ON,
∴∠MOD=∠MON=90°,
∴∠COD=∠BON,
又∵∠AOD=∠BON(對(duì)頂角相等),
∴∠COD=∠AOD,
∴OD平分∠AOC,
即直線ON平分∠AOC
(2)10或40
(3)解:∵∠MON=90°,∠AOC=60°,
∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,
∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°
【解析】解:(2)∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°,
∴∠BON=∠COD=30°,
即旋轉(zhuǎn)60°時(shí)ON平分∠AOC,
由題意得,6t=60°或240°,
∴t=10或40;
(1)根據(jù)角平分線的定義得出∠MOC=∠MOB,再根據(jù)同角的余角相等得出∠COD=∠BON,然后根據(jù)對(duì)頂角相等及等量代換得出結(jié)論。
(2)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOC的度數(shù),則∠BON=30°,因此旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)ON平分∠AOC,從而得出6t=60°或240°,即可求得t的值。
(3)根據(jù)已知易得∠AOC=60°,而∠AOM=90°﹣∠AON,∠NOC=60°﹣∠AON,再求差即可求得結(jié)果。
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),且BE=DF,連接EF交BD于O.
(1)求證:BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延長EF交AD的延長線于G,當(dāng)FG=1時(shí),求AE的長.
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【題目】如圖,△ABC中,AB=5,AC=7,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN經(jīng)過點(diǎn)O,與AB、AC相交于點(diǎn)M、N,且MN∥BC,則△AMN的周長等于 .
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【題目】如圖,已知AB∥CD,F(xiàn)為CD上一點(diǎn),∠EFD=60°,∠AEC=2∠CEF,若6°<∠BAE<15°,∠C的度數(shù)為整數(shù),則∠C的度數(shù)為 .
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【題目】下列對(duì)一次函數(shù)y=﹣2x+1的描述錯(cuò)誤的是( 。
A. y隨x的增大而減小
B. 圖象經(jīng)過第二、三、四象限
C. 圖象與直線y=2x相交
D. 圖象可由直線y=﹣2x向上平移1個(gè)單位得到
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【題目】下列多項(xiàng)式相乘的結(jié)果是a2﹣a﹣6的是( 。
A.(a﹣2)(a+3)
B.(a+2)(a﹣3)
C.(a﹣6)(a+1)
D.(a+6)(a﹣1)
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【題目】如圖,在△BCE中,點(diǎn)A是邊BE上一點(diǎn),以AB為直徑的⊙O與CE相切于點(diǎn)D,AD∥OC,點(diǎn)F為OC與⊙O的交點(diǎn),連接AF.
(1)求證:CB是⊙O的切線;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求圖中陰影部分的面積.
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