Question

1．如圖，四邊形ABCD中，AC、BD交于O點(diǎn)且AC⊥BD，AB、CD所在的直線為l₁、l₂，l₁∥l₂．若AC=8，BD=6，固定線段AC不動，線段BD在l₁、l₂之間平移．
（1）當(dāng)BC=AD時，四邊形ABCD為菱形；（填寫特殊四邊形）
（2）若梯形ABCD的兩底邊AB、CD長為關(guān)于x方程x²-mx+2n-3=0兩根，求n的取值范圍；
（3）在（2）中，求證：BC+AD＞m．

Answer 1

分析 （1）可用排除法；
（2）由于梯形的兩底是關(guān)于x的一元二次方程的兩個根，所以△＞0，可考慮根與系數(shù)的關(guān)系．過點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長線于點(diǎn)E，則四邊形ABDE是平行四邊形，△ACE是直角三角形，其斜邊恰好是上下底的和，兩條直角邊是梯形的兩條對角線，先求出m的值，再確定n的取值范圍．
（3）由（2）知，梯形上下底的和為m，若要證明梯形兩個腰的和大于兩個底的和，由于本題梯形的對角線互相垂直，可考慮利用直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系以及梯形的中位線定理．故作梯形的中位線，并連接各中點(diǎn)和O構(gòu)造三角形，利用三邊關(guān)系求解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD的一組對邊平行，一組對邊相等，
∴該四邊形是平行四邊形或者是等腰梯形．
∵等腰梯形的對角線相等，所以四邊形ABCD是平行四邊形．
因為?ABCD的兩條對角線互相垂直且不相等，
∴該四邊形是菱形．
故答案為：菱形．
（2）如圖．過點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長線于點(diǎn)E．
∵AB∥CD，AE∥BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形．
∴AB=DE，BD=AE=6，∠CAE=∠COD=90°．
在RT△ACE中，由于AC=8，AE=6，
∴CE=10，即AB+CD=10．
∵AB、CD長為關(guān)于x方程x²-mx+2n-3=0兩根，
∴△=m² -4（n-3）＞0，AB+CD=m=10，
即10²-4n+12＞0，所以n＜28．
∵AB×CD=2n-3＞0，
∴n＞1.5．
∴1.5＜n＜28．

（3）若BC、AD的中點(diǎn)分別為M、N，連接0M、0N、MN．
在RT△BOC、RT△AOD中，2OM=BC，2ON=AD．
在△OMN中，OM+0N＞MN，
∴BC+AD＞2MN．
∵M(jìn)N是梯形ABCD的中位線，
所以2MN=AB+CD，
由（2）知AB+CD=m，
∴2MN=m．
∴BC+AD＞m．

點(diǎn)評 點(diǎn)評：本題是梯形、平行四邊形相關(guān)知識與一元二次方程相結(jié)合的綜合性題目．考察了梯形的中位線定理、直角三角形斜邊的中線、四邊形的判定、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．解決本題目的關(guān)鍵是通過作輔助線，把分散的條件集中起來綜合考慮．