【題目】如圖,在平面直角坐標系中,頂點為(4,1)的拋物線交y軸于點A,交x軸于B,C兩點(點B在點C的左側(cè)),已知C點坐標為(6,0).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)連結(jié)AB,過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D,如果以點C為圓心的圓與拋物線的對稱軸l相切,先補全圖形,再判斷直線BD與⊙C的位置關(guān)系并加以證明;
(3)已知點P是拋物線上的一個動點,且位于A,C兩點之間.問:當點P運動到什么位置時,△PAC的面積最大?求出△PAC的最大面積.
【答案】(1)y=-x2+2x-3;(2) 直線BD與⊙C相離.證明見解析;(3) P點的位置是(3, ),△PAC的最大面積是.
【解析】
試題(1)根據(jù)頂點坐標列出頂點式,再將C點坐標代入即可;
(2)先求出圓的半徑,再借助三角形相似,求出C到直線的距離,比較他們的大小即可;
(3)過點作平行于軸的直線交于點.設(shè)出點坐標,求出PQ的值,再表示出
的面積,借助函數(shù)關(guān)系式求出最值.
試題解析:(1)∵拋物線的頂點為(4,1),
∴設(shè)拋物線解析式為.
∵拋物線經(jīng)過點(6,0),
∴.
∴.
∴.
所以拋物線的解析式為;
(2)補全圖形、判斷直線BD與⊙相離
令=0,則,.
∴點坐標(2,0).
又∵拋物線交軸于點,
∴A點坐標為(0,-3),
∴.
設(shè)⊙與對稱軸l相切于點F,則⊙的半徑CF=2,
作⊥BD于點E,則∠BEC=∠AOB=90°.
∵,
∴.
又∵,
∴.
∴∽,
∴.
∴,
∴.
∴直線BD與⊙相離;
(3)如圖,過點作平行于軸的直線交于點.
∵A(0,-3),(6,0).
∴直線解析式為.
設(shè)點坐標為(,),
則點的坐標為(,).
∴PQ=-()=.
∵,
∴當時,的面積最大為
∵當時,=
∴點坐標為(3,).
綜上:點的位置是(3,),的最大面積是.
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【題目】如圖,等腰三角形ABC底邊BC的長為4,面積為12,腰AB的垂直平分線EF交AB于點E,交AC于點F.若D為BC邊的中點,M為線段EF上一個動點,則△BDM的周長的最小值為______.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有兩個不相等的實數(shù)根.
(1)求k的取值范圍;
(2)設(shè)方程①的兩個實數(shù)根分別為x1,x2,當k=1時,求x12+x22的值.
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【題目】已知,點,點分別在軸正半軸和負半軸上,.
(1)如圖1,若,,求的度數(shù);
(2)在和內(nèi)作射線,,分別與過點的直線交于第一象限內(nèi)的點和第三象限內(nèi)的點.
①如圖2,若,恰好分別平分和,求的值;
②若,,當,則的取值范圍是__________.
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【題目】將一張長方形的紙對折,如圖所示可得到一條折痕(圖中虛線).繼續(xù)對折,對折時每次折痕與上次的折痕保持平行,連續(xù)對折三次后,可以得到條折痕,那么對折四次可以得到( )條折痕.如果對折次, 可以得到( )條折痕
A.,B.,C.,D.,
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【題目】如圖,BD為□ABCD的對角線,按要求完成下列各題.
(1)用直尺和圓規(guī)作出對角線BD的垂直平分線交AD于點E,交BC于點F,垂足為O.(保留作圖痕跡,不要求寫作法)
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,連接BE和DF.求證:四邊形BFDE是菱形.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,過點C作CE∥BD,過點D作DE∥AC,CE與DE相交于點E.
(1)求證:四邊形CODE是矩形;
(2)若AB=10,AC=12,求四邊形CODE的周長.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=6,Rt△AB'C'可以看作是由Rt△ABC繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到的,則線段B'C的長為______.
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【題目】如圖,在中,是高,是角平分線,,.
()求、和的度數(shù).
()若圖形發(fā)生了變化,已知的兩個角度數(shù)改為:當,,則__________.
當,時,則__________.
當,時,則__________.
當,時,則__________.
()若和的度數(shù)改為用字母和來表示,你能找到與和之間的關(guān)系嗎?請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.
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