Question

5．（1）如圖1，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A₁． 當(dāng)∠A為80°時(shí)，求∠A₁的度數(shù)
（2）在上一題中，若∠A₁BC的角平分線與∠A₁CD的角平分線交于A₂，∠A₂BC與A₂CD的平分線交于A₃，如此繼續(xù)下去可得A₄、…、A_n，則∠A₆=（$\frac{5}{4}$）°．
（3）如圖2，四邊形ABCD中，∠F為∠ABC的角平分線及外角∠DCE的平分線所在的直線構(gòu)成的角，若∠A+∠D=230度，則∠F=25°．
（4）如圖3，△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A₁若E為BA延長線上一動(dòng)點(diǎn)，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當(dāng)E滑動(dòng)時(shí)有下面兩個(gè)結(jié)論：①∠Q+∠A₁的值為定值；②∠Q-∠A₁的值為定值．其中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)寫出正確的結(jié)論①（填編號(hào)），并寫出其值180°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的定義可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，整理即可得解；
（2）由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分別平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠BAC=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，因此找出規(guī)律；
（3）先根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°，得出∠ABC+∠DCB=360°-（α+β），根據(jù)內(nèi)角與外角的關(guān)系和角平分線的定義得出∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（α+β）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，從而得出結(jié)論；
（4）依然要用三角形的外角性質(zhì)求解，易知2∠A₁=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形內(nèi)角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A₁和∠Q的關(guān)系．

解答 解：（1）∵A₁B是∠ABC的平分線，A₁C是∠ACD的平分線，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁BC+∠A₁，
∴$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠A₁，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=80°，
∴∠A₁=40°，

（2）解：∵A₁B、A₁C分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=2∠A₁=80°，
∴∠A₁=40°，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
即∠BAC=2²∠A₂=80°，
∴∠A₂=20°，
∴∠A=2ⁿ∠A_n，即∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，
∴∠A₆=$\frac{1}{{2}^{6}}$×80°=（$\frac{5}{4}$）°，
故答案為：（$\frac{5}{4}$）°．

（3）∵∠ABC+∠DCB=360°-（∠A+∠D），
∴∠ABC+（180°-∠DCE）=360°-（∠A+∠D）=2∠FBC+（180°-2∠DCF）=180°-2（∠DCF-∠FBC）=180°-2∠F，
∴360°-（α+β）=180°-2∠F，
2∠F=∠A+∠D-180°，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠A+∠D）-90°，
∵∠A+∠D=230°，
∴∠F=25°；
故答案為：25°．

（4）△ABC中，由三角形的外角性質(zhì)知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；
即：2∠A₁=2（180°-∠Q），
化簡得：∠A₁+∠Q=180°，
因此①的結(jié)論是正確的，且這個(gè)定值為180°．
故答案為：①，180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了多邊形內(nèi)角與外角和角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵，要注意整體思想的利用．