Question

14．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，A（0，5），B（3，0），過點B作直線l∥y軸，點P（3，b）是直線l上的一個動點，以AP為邊在AP右側作等腰Rt△APQ，∠APQ=90°，當點P在直線l上運動時，點Q也隨時之運動，問：當b=$\frac{23}{7}$時，AQ+BQ的值最小為$\sqrt{130}$．

Answer 1

分析 如圖作PM⊥OA于M，QN⊥MP于N，首先證明點Q在直線y=-x+11上運動，然后利用對稱找到點AQ+BQ最小時的位置，即可解決問題．

解答 解：如圖作PM⊥OA于M，QN⊥MP于N，
∵PA=PQ，∠APQ=90°，
∵∠APM+∠QPN=90°，∠QPN+∠PQN=90°，
∴∠APM=∠PQN，
在△PAM和△QPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMP=∠PNQ}\\{∠APM=∠PQN}\\{AP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△PAM≌△QPN，
∴QN=PM=3，AM=PN=5-b，
∴點Q坐標為（8-b，3+b），
∵8-b+3+b=11，
∴點Q在直線x+y=11，即y=-x+11上，
∵點A關于直線y=-x+11是對稱點A′（6，11），連接BA′與直線y=-x+11的交點為Q，此時QA+QB最小，
這個最小值=A′B=$\sqrt{（6-3）^{2}+1{1}^{2}}$=$\sqrt{130}$．
∵直線BA′為y=$\frac{11}{3}$x-11，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+11}\\{y=\frac{11}{3}x-11}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{33}{7}}\\{y=\frac{44}{7}}\end{array}\right.$，
∴8-b=$\frac{33}{7}$，
∴b=$\frac{23}{7}$．
故答案分別為$\frac{23}{7}$，$\sqrt{130}$．

點評 本題考查軸對稱、線段最短問題，題目比較難，本題的突破點是證明點Q在直線y=-x+11上，學會轉化的思想，把不會的題目轉化為我們熟悉的題目，屬于中考填空題中的壓軸題．