【題目】如圖,在中,, 點(diǎn)是邊上一點(diǎn),連接,以為邊作等邊.
如圖1,若求等邊的邊長;
如圖2,點(diǎn)在邊上移動過程中,連接,取的中點(diǎn),連接,過點(diǎn)作于點(diǎn).
①求證:;
②如圖3,將沿翻折得,連接,直接寫出的最小值.
【答案】(1);(2)證明見解析;(3)最小值為
【解析】
(1)過C做CF⊥AB,垂足為F,由題意可得∠B=30°,用正切函數(shù)可求CF的長,再用正弦函數(shù)即可求解;
(2) 如圖(2)1:延長BC到G使CG=BC,易得△CGE≌△CAD,可得CF∥GE,得∠CFA=90°,CF=GE再證DG=AD,得CF=DG,可得四邊形DGFC是矩形即可;
(3)如圖(2)2:設(shè)ED與AC相交于G,連接FG,先證△EDF≌△F D'B得BD'=DE,當(dāng)DE最大時最小,然后求解即可;
解:(1)如圖:過C做CF⊥AB,垂足為F,
∵,
∴∠A=∠B=30°,BF=3
∵tan∠B=
∴CF=
又∵sin∠CDB= sin45°=
∴DC=
∴等邊的邊長為;
①如圖(2)1:延長BC到G使CG=BC
∵∠ACB=120°
∴∠GCE=180°-120°=60°,∠A=∠B=30°
又∵∠ACB=60°
∴∠GCE=∠ ACD
又∵CE=CD
∴△CGE≌△CAD(SAS)
∴∠G=∠ A=30°,GE=AD
又∵EF=FB
∴GE∥FC, GE=FC,
∴∠BCF=∠G=30°
∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°
∴CF∥DG
∵∠ A=30°
∴GD=AD,
∴CF=DG
∴四邊形DGFC是平行四邊形,
又∵∠ACF=90°
∴四邊形DGFC是矩形,
∴
②)如圖(2)2:設(shè)ED與AC相交于G,連接FG
由題意得:EF=BF, ∠EFD=∠D'FB
∴△EDF≌△F D'B
∴BD'=DE
∴BD'=CD
∴當(dāng)BD'取最小值時,有最小值
當(dāng)CD⊥AB時,BD'min=AC,
設(shè)CDmin=a,則AC=BC=2a,AB=2a
的最小值為;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:各類方程的解法
求解一元一次方程,根據(jù)等式的基本性質(zhì),把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式.求解二元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解;類似的,求解三元一次方程組,把它轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.求解一元二次方程,把它轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解.求解分式方程,把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解,由于“去分母”可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同,但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化,把未知轉(zhuǎn)化為已知.
用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想,我們還可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)問題:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;
(2)拓展:用“轉(zhuǎn)化”思想求方程的解;
(3)應(yīng)用:如圖,已知矩形草坪ABCD的長AD=8m,寬AB=3m,小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點(diǎn)B,沿草坪邊沿BA,AD走到點(diǎn)P處,把長繩PB段拉直并固定在點(diǎn)P,然后沿草坪邊沿PD、DC走到點(diǎn)C處,把長繩剩下的一段拉直,長繩的另一端恰好落在點(diǎn)C.求AP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,在以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸建立的平面直角坐標(biāo)系中,將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至軸的正半軸上的點(diǎn)處,若,則圖中陰影部分面積為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,點(diǎn)O為BC邊上一點(diǎn),⊙O經(jīng)過A、B兩點(diǎn),與BC邊交于點(diǎn)E,點(diǎn)F為BE下方半圓弧上一點(diǎn),FE⊥AC,垂足為D,∠BEF=2∠F.
(1)求證:AC為⊙O切線.
(2)若AB=5,DF=4,求⊙O半徑長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,.動點(diǎn)以每秒個單位的速度從點(diǎn)開始向點(diǎn)移動,直線從與重合的位置開始,以相同的速度沿方向平行移動,且分別與邊交于兩點(diǎn),點(diǎn)與直線同時出發(fā),設(shè)運(yùn)動的時間為秒,當(dāng)點(diǎn)移動到與點(diǎn)重合時,點(diǎn)和直線同時停止運(yùn)動.在移動過程中,將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn),連接,當(dāng)時,的值為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,切點(diǎn)分別為D、E、F,∠A=80°,點(diǎn)P為⊙O上任意一點(diǎn)(不與E、F重合),則∠EPF=______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)y=x2﹣2x+k的部分圖象如圖所示,則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0的解一個為x1=3,則方程x2﹣2x+k=0另一個解x2=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明本學(xué)期4次數(shù)學(xué)考試成績?nèi)缦卤砣缡荆?/span>
成績類別 | 第一次月考 | 第二次月考 | 期中 | 期末 |
成績分 | 138 | 142 | 140 | 138 |
(1)小明4次考試成績的中位數(shù)為__________分,眾數(shù)為______________分;
(2)學(xué)校規(guī)定:兩次月考的平均成績作為平時成績,求小明本學(xué)期的平時成績;
(3)如果本學(xué)期的總評成績按照平時成績占20%、期中成績占30%、期末成績占50%計算,那么小明本學(xué)期的數(shù)學(xué)總評成績是多少分?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,OA1=2,∠A1Ox=30°,以OA1為直角邊作Rt△OA1A2,并使∠A1OA2=60°,再以A1A2為直角邊作Rt△A1A2A3,并使∠A2A1A3=60°,再以A2A3為直角邊作Rt△A2A3A4,并使∠A3A2A4=60°,…,按此規(guī)律進(jìn)行下去,則A2020的坐標(biāo)是_____.
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