Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA1＝2，∠A1Ox＝30°，以OA1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以A1A2為直角邊作Rt△A1A2A3，并使∠A2A1A3＝60°，再以A2A3為直角邊作Rt△A2A3A4，并使∠A3A2A4＝60°，…，按此規(guī)律進行下去，則A2020的坐標是_____．

Answer 1

【答案】（0，1﹣31010）

【解析】

先根據(jù)已知確定A2在y軸正半軸上，A3在第二象限，A4在y軸負半軸上，由此可得每四個點一循環(huán)，而2020是4的倍數(shù)，所以可確定所求點在y軸的負半軸上，再根據(jù)解直角三角形的知識依次求得A2，A3，A4的坐標，找到規(guī)律即可求出答案．

解：如圖，設A1A3與y軸交于點B，

∵∠A1Ox＝30°，∠A1OA2＝60°，

∴∠A2Ox＝90°，

∴A2在y軸上，

在Rt△A1A2O中，∵OA1＝2，∠A1OA2＝60°，

∴∠A1A2O＝30°，

∴OA2＝2OA1＝4，A1A2＝2，

∴A2（0，4），

在Rt△A1A2A3中，∵∠A2A1A3＝60°，

∴∠A1A3A2＝30°，

∴A1A3＝2A1A2＝4，

∵∠BA1O＝∠A1Ox＝30°，

∴A1B∥x軸，

∴A1B⊥A2O，

∵∠A1A2B＝30°，

∴A1B＝A1A2＝，A2B＝3，

∴A3B＝4﹣＝3，OB＝4﹣3＝1，

∴A3的橫坐標為：﹣3＝﹣，

∴A3（﹣3，1），

在Rt△A2BA3中，A2A3＝2A2B＝6，在Rt△A2A3A4中，A2A4＝2A2A3＝12，

∴OA4＝12﹣4＝8，

∴A4的縱坐標為：，A4（0，﹣8），

由此發(fā)現(xiàn)：點A1，A2，A3，A4，…，An，每四次一循環(huán)，

∵2020÷4＝505，∴點A2020在y軸的負半軸上，縱坐標是：＝1﹣31010．

則A2020的坐標是 （0，1﹣31010）；

故答案為：（0，1﹣31010）．