Question

1．如圖，∠ABD=∠ADB=15°，∠CBD=45°，∠CDB=30°．求證：△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析 如圖作等邊三角形BDE，連結(jié)AE，先證明△ABE≌△ADE，再證明△BAE≌△BCD得到AB=BC由此即可證明．

解答 證明：如圖作等邊三角形BDE，連結(jié)AE．
∵∠ABD=∠ADB=15°，
∴AB=AD
∵EB=ED，
在△ABE和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EB=ED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADE（SSS），
∴∠AEB=∠AED=30°，
∵∠BDC=30°，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠EBD=60°，∠ABD=15°，
∴∠EBA=45°=∠CBD
在△BAE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠BDC}\\{BE=DB}\\{∠EBA=∠CBD}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△BCD（ASA）
∴BA=BC
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD
=15°+45°
=60°
∴△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，題目有點(diǎn)難度，記住作等邊三角形也是常用輔助線，屬于中考�？碱}型．