Question

7．如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線EF分別交BA、DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，且AE=CF，連接DE、BF．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若∠ABD=30°，AB⊥AC．
①當(dāng)AE與AB的數(shù)量關(guān)系為AE=AB時(shí)，四邊形BEDF是矩形；
②當(dāng)AE與AB的數(shù)量關(guān)系為3AE=AB時(shí)，四邊形BEDF是菱形．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行四邊形的性質(zhì)，得出AO=CO，進(jìn)而得出∠EAO=∠FCO，結(jié)合全等三角形的判定方法得出答案；
（2）①利用矩形的判定方法，得出BD=EF，即可得出答案；
②利用菱形的判定方法，結(jié)合勾股定理的逆定理，得出∠BOE=90°，即可得出答案．

解答 （1）證明：連接AC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO，BA∥DC，BO=DO，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{∠EAO=∠FCO}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（SAS）；

（2）解：①當(dāng)AB=AE時(shí)，四邊形BEDF是矩形；
理由：∵△AOE≌△COF，
∴EO=FO，
又∵BO=DO，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵AB⊥AC，AB=AE，
∴BO=EO，
∴BD=EF，
∴平行四邊形BEDF是矩形；
故答案為：AB=AE；

②當(dāng)AE與AB的數(shù)量關(guān)系為 3AE=AB時(shí)，四邊形BEDF是菱形，
理由：∵∠ABD=30°，AB⊥AC，
∴設(shè)AO=x，則AB=$\sqrt{3}$x，BO=2x，
∵3AE=AB，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，由AO=x，
故EO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，
∵（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x）²+（2x）²=（$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x）²，
∴△BOE是直角三角形，即∠BOE=90°，
∴平行四邊形BEDF是菱形．
故答案為：AB=3AE．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合以及矩形、菱形的判定和勾股定理的逆定理等知識(shí)，熟練應(yīng)用矩形與菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．