Question

2．如圖所示，已知M的坐標(biāo)為（4，0），以M為圓心，以2為半徑的圓交x軸于點A、B，拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c過A、B兩點且與y軸交于點C．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）已知點Q（8，m）為拋物線上一點，點P為拋物線對稱軸上一動點，求出P點坐標(biāo)使得PQ+PB值最小，并求出最小值；
（3）過C點作⊙M的切線CE，求直線OE的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知點A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（6，0），代入函數(shù)解析式即可求得拋物線的解析式，即可得點C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)圖象可得PQ+PB的最小值即是AQ的長，所以拋物線對稱軸l是x=4．所以Q（8，m）拋物線上，得到m=2．過點Q作QK⊥x軸于點K，則K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即可；
（3）此題首先要證得OE∥CM，利用待定系數(shù)法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．

解答 解：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+bx+c過點A和B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{6}×{2}^{2}+b+c=0}\\{\frac{1}{6}×{2}^{2}+6b+c=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{4}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$
則拋物線的解析式為
y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{4}{3}$x+2．
故C（0，2）．
（2）如圖，

拋物線對稱軸l是x=4．
∵Q（8，m）在拋物線上，
∴m=2．
過點Q作QK⊥x軸于點K，
則K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ=$\sqrt{A{K}^{2}+Q{K}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
又∵B（6，0）與A（2，0）關(guān)于對稱軸l對稱，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2$\sqrt{10}$．

（3）如圖，

①連接EM和CM
由已知，得EM=OC=2．
∵CE是⊙M的切線，
∴∠DEM=90°，
則∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
∴△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
則OE∥CM．
設(shè)CM所在直線的解析式為y=kx+b，CM過點C（0，2），M（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直線CM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
又∵直線OE過原點O，且OE∥CM，
∴OE的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x．
②如圖，

連接ME'，
∴ME'⊥CE'
由（1）知，ME=OC=2，
∴CE'∥x軸，
∵C（0，2），M（4，0），
∴E'（4，2），
∴直線OE'的解析式為y=$\frac{1}{2}$x

點評 此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)以及圓的綜合知識，要注意待定系數(shù)法求解析式以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．