Question

4．如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，下列結(jié)論：①$\frac{DG}{GB}=\frac{1}{2}$；②$\frac{AE}{EB}=\frac{ED}{BC}$；③△EDG∽△CGB；④$\frac{{S}_{四邊形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$．其中正確的個(gè)數(shù)有（　　）

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)重心的定義得出D是AC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，DG：BD=1：3，進(jìn)而得出ED∥BC，得出△AED∽△ABC，△EDG∽△CGB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{DG}{GB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AE}{AB}$=$\frac{ED}{BC}$，$\frac{{S}_{ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{ED}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，進(jìn)而根據(jù)S_△DEG=$\frac{1}{3}$S_△BDE=$\frac{1}{12}$S_△ABC，即可求得S_{四邊形AEGD}=S_△AED+S_△DGE=$\frac{1}{4}$S_△ABC+$\frac{1}{12}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，即可求得$\frac{{S}_{四邊形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，即可得出答案．

解答 解：∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴D是AC的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，
∵DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴△AED∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{ED}{BC}$，故②錯(cuò)誤；
∵DE∥BC，
∴∠DEG=∠BCG，∠EDG=∠CBG，
∴△EDG∽△CGB，
∴$\frac{DG}{GB}$=$\frac{DE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，故①③正確；
∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴DG：BD=1：3，
∵AD=DC，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{ED}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴S_△DEG=$\frac{1}{3}$S_△BDE=$\frac{1}{12}$S_△ABC，
∴S_{四邊形AEGD}=S_△AED+S_△DGE=$\frac{1}{4}$S_△ABC+$\frac{1}{12}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
∴$\frac{{S}_{四邊形AEGD}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，故④正確；
故正確的有①③④，
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了三角形中位線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)，需要學(xué)生具有綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．