Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，交CB于點(diǎn)F．過點(diǎn)D作BC的平行線DM，連接AC并延長與DM相交于點(diǎn)G．
（1）求證：GD是⊙O的切線；
（2）求證：GD²=GC•AG；
（3）若CD=6，AD=8，求cos∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由垂徑定理得出OD⊥BC，OD平分BC，由圓周角定理得出∠ACB=90°，證出DM⊥OD，即可得出GD是⊙O的切線；
（2）由切割線定理即可得出結(jié)論；
（3）由垂徑定理得出BD=CD=6，BN=$\frac{1}{2}$BC，由勾股定理求出AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=10，證明△CDH∽△ABH，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{CH}{AH}=\frac{DH}{BH}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{3}{5}$，由圓周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，求出BH，得出DH、AH、CH，求出BC的長，再由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示：
∵D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴OD⊥BC，OD平分BC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，即AG⊥BC，
∵DM∥BC，
∴DM⊥OD，
∴GD是⊙O的切線；
（2）證明：∵GD是⊙O的切線，AG是⊙O的割線，
∴GD²=GC•AG；
（3）解：∵D是$\widehat{BC}$的中點(diǎn)，
∴BD=CD=6，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵∠DCH=∠BAH，∠CHD=∠AHB，
∴△CDH∽△ABH，
∴$\frac{CH}{AH}=\frac{DH}{BH}=\frac{CD}{AB}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵$\frac{DH}{BH}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BD}{BH}=\frac{4}{5}$，
∴BH=$\frac{5}{4}$BD=$\frac{5}{4}$×6=$\frac{15}{2}$，
∴DH=$\frac{3}{5}$BH=$\frac{9}{2}$，
∴AH=AD-DH=8-$\frac{9}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴CH=$\frac{3}{5}$AH=$\frac{21}{10}$，
∴BC=BH+CH=$\frac{15}{2}$+$\frac{21}{10}$=$\frac{48}{5}$，
∴cos∠ABC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\frac{48}{5}}{10}$=$\frac{24}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、切割線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（3）中，需要證明三角形相似才能得出結(jié)果．