已知四邊形ABCD的外接圓⊙O的半徑為5,對角線AC與BD的交點為E,且AB2=AE·AC,BD=8,

【小題1】判斷△ABD的形狀并說明理由;
【小題2】求△ABD的面積

【小題1】△ABD是等腰三角形
如圖,連接OA、OB,交DB于F;
∵AB2=AE•AC,即;
又∵∠BAE=∠CAB,
∴△ABE∽△ACB;
∴∠DBA=∠BCA;
而∠BCA=∠BDA,∴∠DBA=∠BDA;
∴AB=AD,
∴△ABD是等腰三角形。(4分)
【小題2】∵AB=AD,
∴OA⊥BD,且F為BD的中點;
∴BF=4;
在Rt△BOF中,OB2=BF2+OF2,∴OF=3;
而OA=5,∴AF=2;
∴SABD=BD×AF=8.(10分)
解析:
求△ABD的面積,已知了底邊BD的長,因此只需求出BD邊上的高即可.連接OA、OB,交DB于F;已知AB2=AE•AC,易證得△ABE∽△ACB;可得∠BCA=∠DBA,即弧AD=弧AB,根據(jù)垂徑定理,可知OA垂直平分BD;易求得OF=3,則AF=2,由此可求得△ABD的面積.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知四邊形ABCD的外接圓⊙O的半徑為2,對角線AC與BD的交點為E,AE=EC,AB=
2
AE,且BD=2
3
,求四邊形ABCD的面積.

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