Question

（1）15個席位同等地圍繞著圓桌安排，席上有15個客人的名片，客人們沒有注意這些名片，直到他們坐下來，才發(fā)覺沒有一個人坐在自己的名片前面，證明可以轉(zhuǎn)動圓桌使得至少有兩個客人同時對號入座．
（2）舉出一種入席順序的例子，使這15個人中恰好有一個客人對號入座，而轉(zhuǎn)動圓桌并不能使更多的客人對上號．

Answer 1

考點(diǎn)：抽屜原理

專題：

分析：（1）將圓桌的轉(zhuǎn)動共有15種狀態(tài)，其中一種狀態(tài)沒有人對號入座，則剩下14種狀態(tài)構(gòu)成14個抽屜，而共有15個事件（每個人恰好對準(zhǔn)自己的名片記為事件），利用抽屜原理即可解答；
（2）對席位進(jìn)行編號，名片也編號，標(biāo)記名片和席位，根據(jù)轉(zhuǎn)動情況進(jìn)行推理．

解答：解：（1）一個圓桌經(jīng)過轉(zhuǎn)動共有15種狀態(tài)（可理解為對應(yīng)15個人名片分別對著客人A），其中一種狀態(tài)沒有人對號入座，則剩下14種狀態(tài)構(gòu)成14個抽屜，每個人恰好對準(zhǔn)自己的名片記為事件，共有15個事件，因此必有兩個事件在同一個抽屜里，即可以轉(zhuǎn)動圓桌，使得至少有兩位客人同時坐在自己的名片前．
（2）對席位編號i，相應(yīng)的名片是16-i，此時恰好一個人在自己的名片前，順時針轉(zhuǎn)動圓桌24k[1≤k≤15]度，對于名片16-i而言，它將轉(zhuǎn)到s的位置，且s≡i+k[mod15][1≤s≤15]，若客人坐在自己的名片前面有s=16-i，①i+k=16-i，2i+k=16； ②i+k-15=16-i，2i+k=31，可見當(dāng)k為偶數(shù)時必有一個解，對應(yīng)①，k為奇數(shù)時也必有一個解對應(yīng)②，而k確定時，i是唯一的．于是其他的人讓不能坐在自己的位置上．

點(diǎn)評：本題考查了抽屜原理的應(yīng)用，要明確，抽屜原理表述的是一種存在性，依賴嚴(yán)格的邏輯推理．