Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，與x軸交于A（x₁，0）、

B（x₂，0），x₁﹤0﹤x₂，與y軸交于點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．

（1）求證： ；

（2）求m、n的值；

（3）當(dāng)p﹥0且二次函數(shù)圖象與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是2，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2，即，化簡(jiǎn)得：n+4m=0。

（2）解：∵二次函數(shù)與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0），x₁＜0＜x₂，

∴OA=－x₁，OB=x₂；。

令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。

由三角函數(shù)定義得：。

∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即 ，化簡(jiǎn)得：。

將 代入得：，化簡(jiǎn)得：。

由（1）知n+4m=0，

∴當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n=－1時(shí)，。

∴m、n的值為： ，n=－1（此時(shí)拋物線開口向上）或 ，n=1（此時(shí)拋物線開口向下）。

（3）解：由（2）知，當(dāng)p＞0時(shí)，n=1， ，

∴拋物線解析式為：。

聯(lián)立拋物線與直線y=x+3解析式得到：，

化簡(jiǎn)得： 。

∵二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)，

∴一元二次方程＊根的判別式等于0，即△=0²+16（p－3）=0，解得p=3。

∴拋物線解析式為：。

當(dāng)x=2時(shí)，二次函數(shù)有最大值，最大值為4。

∴當(dāng)p＞0且二次函數(shù)圖象與直線y=x+3僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為4。

【解析】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義，二次函數(shù)的性質(zhì)。

【分析】（1）由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為x=2，利用對(duì)稱軸公式，化簡(jiǎn)即得n+4m=0。

（2）利用三角函數(shù)定義和拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)性質(zhì)求解．特別需要注意的是拋物線的開口方向未定，所以所求m、n的值將有兩組。

（3）利用一元二次方程的判別式等于0求解．當(dāng)p＞0時(shí)，m、n的值隨之確定；將拋物線的解析式與直線的解析式聯(lián)立，得到一個(gè)一元二次方程；由交點(diǎn)唯一可知，此一元二次方程的判別式等于0，據(jù)此求出p的值，從而確定了拋物線的解析式；最后由拋物線的解析式確定其最大值。