如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為M(2,0),直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中點A在y軸上,P為線段AB上一動點(除A,B兩端點外),過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點Q設線段PQ的長為l,點P的橫坐標為x.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求l與x之間的函數(shù)關系式,并求出l的取值范圍;
(3)線段AB上是否存在一點P,使四邊形PQMA為梯形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)先根據(jù)直線的解析式求出A點的坐標,然后根據(jù)M點的坐標,用頂點式二次函數(shù)通式來設拋物線的解析式,將A點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式.
(2)根據(jù)直線y=x+2的解析式求出A點的坐標,根據(jù)A、B的坐標求出拋物線的解析式,由PQ⊥x軸得P、Q的橫坐標為x,最后用縱坐標的差表示出來就可.根據(jù)A、B兩點的總坐標就可以求出取值范圍;
(3)過點M作MQ∥AB交拋物線于點Q,連接AM,作PQ∥y軸于點P,過M作MD∥PQ,MD交AB于N,得出四邊形PQMD為平行四邊形,可以求出MD的長度,從而求出P點的坐標;
解答:解:(1)依題意,設二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2,
由于直線y=x+2與y軸交于(0,2),
∴x=0,y=2
滿足y=a(x-2)2,于是求得a=
1
2
,
二次函數(shù)的解析式為y=
1
2
(x-2)2;

(2)∵PQ⊥x軸且橫坐標為x,
∴l(xiāng)=(x+2)-
1
2
(x-2)2=-
1
2
x2+3x,
y=x+2
y=
1
2
(x-2)2
得點B的坐標為B(6,8),
∵點p在線段AB上運動,
∴0<x<6.
l=-
1
2
x2+3x=-
1
2
(x-3)2+
9
2
,
∴當x=3時,l最大=
9
2

∴0<l<
9
2
;

(3)作MQ∥AP.過M作MD∥PQ,MD交AB于N,
則四邊形PQMD為平行四邊形.
∴MD=PQ,∵M(2,0),∴D(2,4),∴MD=4.
PQ=-
1
2
x2+3x=MD=4

∴x2-6x+8=0,∴x1=2,x2=4.
∵2<x<6,∴x=4.
∴P(4,6),Q(4,2).
即P點的坐標為:(4,6)
點評:本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點、梯形的判定等知識及綜合應用知識、解決問題的能力.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(1,0),直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中A點的坐標為(3,4),B點在軸y上.
(1)求m的值及這個二次函數(shù)的關系式;
(2)P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E,設線段PE的長為h,點P的橫坐標為x,求h與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點,在線段AB上是否存在一點P,使得四邊形DCEP是平行四邊形?若存在,請求出此時P點的坐標;若不存在,請說明理由.

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(2012•高淳縣一模)如圖,已知二次函數(shù)y=-
1
2
x2+mx+3的圖象經(jīng)過點A(-1,
9
2
).
(1)求該二次函數(shù)的表達式,并寫出該函數(shù)圖象的頂點坐標;
(2)點P(2a,a)(其中a>0),與點Q均在該函數(shù)的圖象上,且這兩點關于圖象的對稱軸對稱,求a的值及點Q到y(tǒng)軸的距離.

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(1)求該二次函數(shù)的關系式;
(2)結合圖象,解答下列問題:
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②當-1<x<2時,求函數(shù)y的取值范圍.

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如圖,已知二次函數(shù)y=(x-1)2的圖象的頂點為C點,圖象與直線y=x+m的圖象交于A、B兩點,其中A點的坐標為(3,4),B點在y軸上.
(1)求m的值;
(2)點P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),過點P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E,設線段PE的長為h,點P的橫坐標為x,求h與x之間的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點,在線段AB上是否存在一點P,使得四邊形DCEP是平行四邊形?若存在,請求出此時P點的坐標;若不存在,請說明理由.

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