Question

【題目】如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展開后，得折痕， （如圖①），點(diǎn)為其交點(diǎn)．

（）探求到的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（）如圖②，若， 分別為， 上的動(dòng)點(diǎn)．

①當(dāng)的長度取得最小值時(shí)，求的長度．

②如圖③，若點(diǎn)在線段上， ，則的最小值__________．

Answer 1

【答案】（）；（）①；②最小值為．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）如圖②，作點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時(shí)PN+PD的長度取得最小值，根據(jù)線段垂直平分線的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等邊三角形，得到BN的長，于是得到結(jié)論；

（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，作D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據(jù)軸對(duì)稱的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結(jié)論．

試題解析：解：（1）AO=2OD．理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB．∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；

（2）如圖②，作點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時(shí)PN+PD的長度取得最小值．∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′．∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等邊三角形，∴BN=BD=．∵∠PBN=30°，∴，∴PB=；

（3）如圖③，作Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q′，作D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．

根據(jù)軸對(duì)稱的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，∴∠D′BQ′=90°．在Rt△D′BQ′中，D′Q′==，∴QN+NP+PD的最小值=，故答案為： ．