Question

17．如圖，山坡上有一顆大樹AB與水平面EF垂直，海嘯過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部D恰好接觸到坡面AE．已知山坡的坡角∠AEF=24°，測得樹干的傾斜角∠BAC=39°，大樹被折斷部分CD和坡面的夾角∠ADC=60°，AD=4米．
（1）求∠DAC的度數(shù)；
（2）求這棵大樹折斷前高是多少米？（結(jié)果精確到個位）（$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 （1）如果延長BA交EF于點G，那么BG⊥EF，∠CAE=180°-∠BAC-∠EAG，∠BAC的度數(shù)以及確定，只要求出∠GAE即可．直角三角形GAE中∠E的度數(shù)已知，那么∠EAG的度數(shù)就能求出來了，∠CAE便可求出；
（2）求樹折斷前的高度，就是求AC和CD的長，如果過點A作AH⊥CD，垂足為H．有∠CDA=60°，通過構(gòu)筑的直角三角形AHD和ACH便可求出AD、CD的值．

解答 解：（1）延長BA交EF于點G．
在Rt△AGE中，∠E=24°，
∴∠GAE=66°．
又∵∠BAC=39°，
∴∠CAE=180°-66°-39°=75°．

（2）過點A作AH⊥CD，垂足為H．
在△ADH中，∠ADC=60°，AD=4，cos∠ADC=$\frac{DH}{AD}$，∴DH=2．
sin∠ADC=$\frac{AH}{AD}$，∴AH=2$\sqrt{3}$．
在Rt△ACH中，
∵∠C=180°-75°-60°=45°，CH=AH=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{6}$，CH=AH=2$\sqrt{3}$．
∴AB=AC+CD=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{3}$+2≈10（米）．
答：這棵大樹折斷前高約10米．

點評 本題是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學問題，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中，使問題解決．