Question

4．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB為直徑的⊙O與BC邊相交于點D，與AC交于點F，過點D作DE⊥AC于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求CE的長；
（3）過點B作BG∥DF，交⊙O于點G，求弧BG的長．

Answer 1

分析 （1）連接AD，OD，則∠ADB=90°，AD⊥BC；又因為AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易證DE⊥OD，故DE為⊙O的切線；
（2）連接BF，由AB為⊙O的直徑，得到∠AFB=90°，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到DE=$\frac{1}{2}$BF，CE=EF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BF=8，根據(jù)切割線定理即可得到結(jié)論；
（3）連接OG，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABG=∠CDF=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OGB=∠OBG=30°，求得∠BOG=120°，根據(jù)弧長的公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖1，連接AD，OD；
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC；
∵AB=AC，
∴BD=DC．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴DE為⊙O的切線；
（2）如圖，2，連接BF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴BF∥DE，
∵CD=BD，
∴DE=$\frac{1}{2}$BF，CE=EF，
∵∠A=30°AB=16，
∴BF=8，
∴DE=4，
∵DE為⊙O的切線，
∴ED²=EF•AE，
∴4²=CE•（16-CE），
∴CE=8-4$\sqrt{3}$，CE=8+4$\sqrt{3}$（不合題意舍去），

（3）如圖3，連接OG，
∵∠CFD=∠ABD，
∴∠C=∠CFD=$\frac{180°-∠A}{2}$=75°，
∴∠CDF=30°，
∵BG∥DF，
∴∠ABG=45°，
∵OG=OB，
∴∠OGB=∠OBG=45°，
∴∠BOG=90°，
∴$\widehat{BG}$的長度=$\frac{90•π×8}{180}$=4π．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，切割線定理，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．