Question

12．如圖，點P是菱形ABCD的對角線BD上一點，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于點F．
（1）求證：∠DCP=∠DAP；
（2）如果PE=4，EF=5，求線段PC的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得∠BDC=∠BDA，然后利用“邊角邊”證明△APD和△CPD全等，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可
（2）利用兩組角相等則兩三角形相似證明△APE與△FPA；根據(jù)相似三角形的對應邊成比例及全等三角形的對應邊相等即可得到結論．

解答 （1）證明：在菱形ABCD中，AD=CD，∠BDC=∠BDA，
在△APD和△CPD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠BDC=∠CBD}\\{DP=DP}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD（SAS），
∴∠DCP=∠DAP；
（2）∵△APD≌△CPD，
∴∠DAP=∠DCP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，
又∵∠FPA=∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
∴$\frac{AP}{PF}=\frac{PE}{PA}$．
∴PA²=PE•PF．
∵△APD≌△CPD，
∴PA=PC．
∴PC²=PE•PF，
∵PE=4，EF=5，
∴PF=9，
∴PC=6．

點評 本題考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性質等知識點，本題中依據(jù)三角形的全等或相似得出線段的相等或比例關系是解題的關鍵．