Question

定義：如圖⑴，若分別以△ABC的三邊AC，BC，AB為邊向三角形外側作正方形ACDE，BCFG和ABMN，則稱這三個正方形為△ABC的外展三葉正方形，其中任意兩個正方形為△ABC的外展雙葉正方形．

 

（1）作△ABC的外展雙葉正方形ACDE和BCFG，記△ABC，△DCF的面積分別為

S₁和S₂．

① 如圖⑵，當∠ACB＝90°時，求證：S₁＝S₂．

② 如圖⑶，當∠ACB≠90°時，S₁與S₂是否仍然相等，請說明理由．

（2）已知△ABC中，AC＝3，BC＝4，作其外展三葉正方形，記△DCF，△AEN，△BGM的面積和為S，請利用圖⑴探究：當∠ACB的度數(shù)發(fā)生變化時，S的值是否發(fā)生變化，若不變，求出S的值；若變化，求出S的最大值．

Answer 1

 (1)證明：∵正方形ACDE和正方形BCFG，

∴AC＝DC，BC＝FC，∠ACD＝∠BCF＝90°，

又∵∠ACB＝90°，∴∠DCF＝90°，

∴∠ACB＝∠DCF＝90°，

∴△ABC≌△DFC．

∴S₁＝S₂．                                                   

(2) S₁＝S₂．                                                        

理由如下：

如圖，過點A作AP⊥BC于點P，

過點D作DQ⊥FC交FC的延長線于點Q．

∴∠APC＝∠DQC＝90°．

∵四邊形ACDE，BCFG均為正方形，

∴AC＝CD，BC＝CF，∠ACP＋∠ACQ＝90°，∠DCQ＋∠ACQ＝90°．

∴∠ACP＝∠DCQ．

∴△APC ≌△DQC．（AAS）                                    

∴AP＝DQ．

又∵S₁＝BC•AP，S₂＝FC•DQ，

∴S₁＝S₂．．                                                  

(3) 由(2)得，S是△ABC面積的三倍，

要使S最大，只需三角形ABC的面積最大，

∴當△ABC是直角三角形，即∠ACB＝90°時，S有最大值．      

此時，S＝3S_△ABC＝3××3×4=18．