Question

已知二次函數的圖象與x軸交于點A（，0）、點B，與y軸交于點C．
（1）求點B坐標；
（2）點P從點C出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段CO向O點運動，到達點O后停止運動，過點P作PQ∥AC交OA于點Q，將四邊形PQAC沿PQ翻折，得到四邊形PQA′C′，設點P的運動時間為t．
①當t為何值時，點A′恰好落在二次函數圖象的對稱軸上；
②設四邊形PQA′C′落在第一象限內的圖形面積為S，求S關于t的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（，0）代入拋物線解析式可求m的值，得到拋物線解析式，令y=0求x的值，得到B對坐標；
（2）①可根據解析式可得出點C點的在坐標，和函數的對稱軸；在Rt△AOC討論，可得AQ=A′Q，同時，過點A′作A′H⊥x軸，此時可根據兩個等量式即可得出QH的長，從而可得出t的值，
②此時要分情況討論，分當0＜t≤1時和當1＜t＜2時的情況，利用三角函數的知識和四邊形求面積的知識即可得出．
解答：解：（1）將A（，0）代入y=-mx²+3mx-2，
解得m=，
∴函數的解析式為y=-x²+x-2，
令y=0，解得：x₁=，x₂=2，
∴B（，0）；

（2）①由解析式可得點C（0，-2）
二次函數圖象的對稱軸為直線，
在Rt△AOC中，∵OC=2，OA=2，
∴tan∠OAC==，
∴∠OAC=30°，∠OCA=60°，
∴∠PQA=150°，∠A′QH=60°，AQ=A′Q
過點A′作A′H⊥x軸于點H，則QH=AH
∴，
解得QH=，
則AQ=，CP=1
∴t=1，
②分兩種情況：
（I）當0＜t≤1時，四邊形PQA′C′落在第一象限內的圖形為等腰三角形QA′N．
NQ=A′Q==A′Qsin60°====，
當t=1時，有最大值．
（II）當1＜t＜2時，設四邊形PQA′C′落在第一象限內的圖形為四邊形MOQA′，
S_{四邊形MOQA}′=S_梯形PQA'C′-S_△OPQ-S_△PC'M，
=，
=，
當時，有最大值，
綜上：當時，四邊形PQA′C′落在第一象限內的圖形面積有最大值是．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．