Question

已知AB∥CD，點(diǎn)P，M為直線AB、CD所確定的平面內(nèi)一點(diǎn)，AM、CM分別平分∠BAP、∠DCP．
（1）如圖1，直接寫出∠P與∠M之間的數(shù)量關(guān)系

 

；
（2）如圖2，點(diǎn)E、N、F在直線CD上，MF平分∠AME，MN平分∠CME，若∠PAB=30°，∠PCD=60°，求∠FMN的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)AP交CD于點(diǎn)Q，則可得到∠BAP=∠AEC，則∠APC=∠BAP+∠DCP=2（∠MAP+∠MCP），連接MP并延長(zhǎng)到點(diǎn)R，則可得∠APR=∠MAP+∠AMP，∠CPR=∠MCP+∠CMP，可得到∠P和∠M的關(guān)系；
（2）由條件可求得∠FMN=

1

2

∠AMC，而同（1）可得出∠AMC=

1

2

∠P，由條件可求得∠P=30°，則可求得∠FMN的度數(shù)．

解答：解：（1）如圖1，
延長(zhǎng)AP交CD于點(diǎn)Q，則可得到∠BAP=∠AEC，則∠APC=∠BAP+∠DCP=2（∠MAP+∠MCP），
連接MP并延長(zhǎng)到點(diǎn)R，則可得∠APR=∠MAP+∠AMP，∠CPR=∠MCP+∠CMP，
所以∠APC=∠M+∠MAP+∠MCP，
所以∠APC=∠M+

1

2

∠APC，
所以∠APC=2∠M，
故答案為：∠P=2∠M；
（2）設(shè)MA交PC于點(diǎn)O，如圖2，
則∠POM=∠APC+∠PAM=∠CMA+∠PCM，
所以∠APC=∠CMA+

1

2

（∠PCD-∠PAB）=∠CMA+15°，
而AB∥CD，則可求得∠P=30°，
可求得∠AMC=15°，
又MF平分∠AME，MN平分∠CME，
所以∠FMN=∠FME-∠NME=

1

2

（∠AME-∠CME）=

1

2

∠AMC=

1

2

×15°=7.5°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查外角的性質(zhì)及角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形的外角的性質(zhì)找到∠P和∠M之間的關(guān)系．