【題目】以菱形的對角線交點為坐標(biāo)原點,所在的直線為軸,已知,,,為折線上一動點,內(nèi)行軸于點,設(shè)點的縱坐標(biāo)為
(1)求邊所在直線的解析式;
(2)設(shè),求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)為直角三角形,求點的坐標(biāo).
【答案】(1)直線BC的解析式為y=x﹣2;
(2)當(dāng)點P在邊BC上時, y=10a2+24a+48;
當(dāng)點P在邊CD上時,y= 10a2﹣40a+48;
(3)點P的坐標(biāo)為(,2﹣),(4,0).
【解析】
試題分析:(1)先確定出OA=4,OB=2,再利用菱形的性質(zhì)得出OC=4,OD=2,最后用待定系數(shù)法即可確定出直線BC解析式;
(2)分兩種情況,先表示出點P的坐標(biāo),利用兩點間的距離公式即可得出函數(shù)關(guān)系式;
(3)分兩種情況,利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出點P的坐標(biāo).
試題解析:(1)∵A(﹣4,0),B(0,﹣2),∴OA=4,OB=2,
∵四邊形ABCD是菱形,∴OC=OA=4,OD=OB=2,∴C(4,0),D(0,2),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx﹣2,∴4k﹣2=0,∴k= ,∴直線BC的解析式為y=x﹣2;
(2)由(1)知,C(4,0),D(0,2),∴直線CD的解析式為y=﹣x+2,
由(1)知,直線BC的解析式為y=x﹣2,
當(dāng)點P在邊BC上時,設(shè)P(2a+4,a)(﹣2≤a<0),
∵M(0,4),
∴y=MP2+OP2=(2a+4)2+(a﹣4)2+(2a+4)2+a2=2(2a+4)2+(a﹣4)2+a2=10a2+24a+48
當(dāng)點P在邊CD上時,
∵點P的縱坐標(biāo)為a,
∴P(4﹣2a,a)(0≤a≤2),
∵M(0,4),∴y=MP2+OP2=(4﹣2a)2+(a﹣4)2+(4﹣2a)2+a2=10a2﹣40a+48,
(3)①當(dāng)點P在邊BC上時,即:0≤a≤2,
由(2)知,P(2a+4,a),
∵M(0,4),∴OP2=(2a+4)2+a2=5a2+16a+16,PM2=(2a+4)2+(a﹣4)2=5a2﹣8a+32,OM2=16,
∵△POM是直角三角形,易知,PM最大,
∴OP2+OM2=PM2,
∴5a2+16a+16+16=5a2﹣8a+32,
∴a=0(舍)
②當(dāng)點P在邊CD上時,即:0≤a≤2時,
由(2)知,P(4﹣2a,a),
∵M(0,4),
∴OP2=(4﹣2a)2+a2=5a2﹣16a+16,PM2=(4﹣2a)2+(a﹣4)2=5a2﹣24a+32,OM2=16,
∵△POM是直角三角形,
Ⅰ、當(dāng)∠POM=90°時,
∴OP2+OM2=PM2,
∴5a2﹣16a+16+16=5a2﹣24a+32,
∴a=0,
∴P(4,0),
Ⅱ、當(dāng)∠MPO=90°時,OP2+PM2=5a2﹣16a+16+5a2﹣24a+32=10a2﹣40a+48=OM2=16,
∴a=2+ (舍)或a=2﹣,
∴P(,2﹣),
即:當(dāng)△OPM為直角三角形時,點P的坐標(biāo)為(,2﹣),(4,0).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AN是⊙M的直徑,NB∥x軸,AB交⊙M于點C.
(1)若點A(0,6),N(0,2),∠ABN=30°,求點B的坐標(biāo);
(2)若D為線段NB的中點,求證:直線CD是⊙M的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖14,是的直徑,,連接.
(1)求證:;
(2)若直線為的切線,是切點,在直線上取一點,使所在的直線與所在的直線相交于點,連接.
①試探究與之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
②是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,若再補充一個條件能使菱形ABCD成為正方形,則這個條件是 . (只填一個條件即可,答案不唯一)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表是某報紙公布的我國“九五”期間國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的統(tǒng)計表,那么這幾年間我國國內(nèi)生產(chǎn)總值平均每年比上一年增長___萬億元.
年份 | 1996 | 1997 | 1998 | 1999 | 2000 |
GDP/萬億元 | 6.6 | 7.3 | 7.9 | 8.2 | 8.9 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O,點E是AB邊的中點,圖中已有三角形與△ADE面積相等的三角形(不包括△ADE)共有( )個.
A.3
B.4
C.5
D.6
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