Question

11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B是第一象限的點(diǎn)，且AB⊥y軸，且AB=OA，點(diǎn)C是線段OA上任意一點(diǎn)，連接BC，作BD⊥BC，交x軸于點(diǎn)D．
（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）用等式表示線段OA，AC與OD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
②連接CD，作∠CBD的平分線，交CD邊于點(diǎn)H，連接AH，求∠BAH的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意畫出圖形即可；
（2）①過B作BE⊥x軸于E，則四邊形AOEB是矩形，根據(jù)矩形的想知道的BE=AO，∠ABE=90°，等量代換得到AB=BE推出△ABC≌△BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=DE，等量代換即可得到結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BC=BD，推出△BCD是等腰直角三角形，于是得到∠BCD=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BHC=90°推出A，C，H，B四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1所示，
（2）①OA+AC=OD，
過B作BE⊥x軸于E，
則四邊形AOEB是矩形，
∴BE=AO，∠ABE=90°，
∵AB=AO，
∴AB=BE，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABC=∠DBE，
在△ABC與△BDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠BED}\\{∠ABC=∠DBE}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BDE，
∴AC=DE，
∵OE=AB=OA，
∴AO+AC=OD；
②如圖2，由（1）知：△ABC≌△BDE，
∴BC=BD，
∵BD⊥BC，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BCD=45°，
∵BH平分∠CBD，
∴∠BHC=90°，∵∠BAO=90°，
∴A，C，H，B四點(diǎn)共圓，
∴∠BAH=∠BCH=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．