Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)在拋物線上.

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）已知點(diǎn)在軸上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，若與相似，試求點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或或.

【解析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出D的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法可得出函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），由ΔAOB與ΔAOM相似，且∠AOB=∠AOM=90°，分兩種情況討論即可．

（1）由旋轉(zhuǎn)可得OD=OB=4，則D（-4，0）．由拋物線經(jīng)過(guò)B（0，4），可設(shè)y=ax2+bx+4，代入A（2，0），D（-4，0）可得：，解得：．

因此該拋物線的表達(dá)式為．

（2）由題可知OA=2，OB=4，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，m），如圖．

∵ΔAOB與ΔAOM相似，且∠AOB=∠AOM=90°，∴分兩種情況討論：

①若，即，∴|m|=4，即m=±4．

∵點(diǎn)M不與點(diǎn)C重合，∴m=-4，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1 （0，-4）．

②若，即，∴|m|=1，即m=±1．

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M2 （0，-1）或M3 （0，1）．

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1 （0，-4）或M2 （0，-1）或M3 （0，1）．