Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)為G．

（1）求拋物線和直線AC的解析式；

（2）如圖1，設(shè)E（m，0）為x正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△CGE和△CGO的面積滿(mǎn)足S△CGE=S△CGO，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，設(shè)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，點(diǎn)M為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸交拋物線對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)部分于點(diǎn)N．試探究點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；y=3x+3；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1,0）或（-7,0）；（3）存在，t的值為或或．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法即能求出拋物線和直線AC解析式．
（2）△CGE與△CGO雖然有公共底邊CG，但高不好求，故把△CGE構(gòu)造在比較好求的三角形內(nèi)計(jì)算．延長(zhǎng)GC交x軸于點(diǎn)F，則△FGE與△FCE的差即為△CGE．
（3）設(shè)M的坐標(biāo)（e，3e＋3），分別以M、N、P為直角頂點(diǎn)作分類(lèi)討論，利用等腰直角三角形的特殊線段長(zhǎng)度關(guān)系，用e表示相關(guān)線段并列方程求解，再根據(jù)e與AP的關(guān)系求t的值．

解：（1）將點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），點(diǎn)C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c得，

，解得，

∴，

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，

將點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，3）代入得：，解得：k=3，n=3

∴直線AC的解析式為：y=3x+3

（2）延長(zhǎng)GC交x軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，

∵

∴G（1,4），GH=4，

∴，

若S△CGE=S△CGO，

則S△CGE=S△CGO=，

①若點(diǎn)E在x軸的正半軸，

設(shè)直線CG為，將G（1,4）代入得

∴，

∴直線CG的解析式為y=x+3，

∴當(dāng)y=0時(shí)，x=-3，即F(-3,0)

∵E（m,0）

∴EF=m-(-3)=m+3

∴

=

=

=

=

∴，解得：m=1

∴E的坐標(biāo)為（1,0）

②若點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，則點(diǎn)E到直線CG的距離與點(diǎn)（1,0）到直線CG的距離相等，

即點(diǎn)E到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)（1,0）到點(diǎn)F的距離，

∴EF=-3-m=1-(-3)=4

∴m=-7，即E（-7,0）

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1,0）或（-7,0）

（3）存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，

設(shè)M（e,3e+3），e＞-1，則，

①如圖2，若∠MPN=90°，PM=PN，

過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過(guò)N作NR⊥x軸于點(diǎn)R，

∵MN∥x軸
∴MQ＝NR＝3e＋3
∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL）
∴PQ＝PR，∠MPQ＝∠NPR＝45°
∴MQ＝PQ＝PR＝NR＝3e＋3
∴xN＝xM＋3e＋3＋3e＋3＝7e＋6，即N（7e＋6，3e＋3）
∵N在拋物線上
∴（7e＋6）2＋2（7e＋6）＋3＝3e＋3，

解得：（舍去），

∵AP＝t，OP＝t1，OP＋OQ＝PQ
∴t1e＝3e＋3
∴t＝4e＋4＝，

②如圖3，若∠PMN＝90°，PM＝MN，

∴MN＝PM＝3e＋3
∴xN＝xM＋3e＋3＝4e＋3，即N（4e＋3，3e＋3）
∴（4e＋3）2＋2（4e＋3）＋3＝3e＋3
解得：e1＝1（舍去），e2＝，
∴t＝AP＝e（1）＝，

③如圖4，若∠PNM＝90°，PN＝MN，
∴MN＝PN＝3e＋3，N（4e＋3，3e＋3）
解得：e＝
∴t＝AP＝OA＋OP＝1＋4e＋3＝

綜上所述，存在以P，M，N為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，t的值為或或．