【題目】如圖①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A,C重合),在△ABC的外部作△CED,使∠CED=90°,DE=CE,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)請直接寫出線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系 ;
(2)將△CED繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時,如圖②,連接AE,請判斷線段AF,AE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)在圖②的基礎(chǔ)上,將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn),請判斷(2)問中的結(jié)論是否發(fā)生變化?若不變,結(jié)合圖③寫出證明過程;若變化,請說明理由.
【答案】(1)AF=AE;(2)AF=AE,證明見解析;(3)結(jié)論不變,AF=AE,理由見解析.
【解析】
試題分析:(1)如圖①中,結(jié)論:AF=AE,只要證明△AEF是等腰直角三角形即可.(2)如圖②中,結(jié)論:AF=AE,連接EF,DF交BC于K,先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可.(3)如圖③中,結(jié)論不變,AF=AE,連接EF,延長FD交AC于K,先證明△EDF≌△ECA,再證明△AEF是等腰直角三角形即可.
試題解析:(1)如圖①中,結(jié)論:AF=AE.
理由:∵四邊形ABFD是平行四邊形,
∴AB=DF,
∵AB=AC,
∴AC=DF,
∵DE=EC,
∴AE=EF,
∵∠DEC=∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE.
(2)如圖②中,結(jié)論:AF=AE.
理由:連接EF,DF交BC于K.
∵四邊形ABFD是平行四邊形,
∴AB∥DF,
∴∠DKE=∠ABC=45°,
∴EKF=180°﹣∠DKE=135°,
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°,
∴∠EKF=∠ADE,
∵∠DKC=∠C,
∴DK=DC,
∵DF=AB=AC,
∴KF=AD,
在△EKF和△EDA中,
,
∴△EKF≌△EDA,
∴EF=EA,∠KEF=∠AED,
∴∠FEA=∠BED=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE.
(3)如圖③中,結(jié)論不變,AF=AE.
理由:連接EF,延長FD交AC于K.
∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC,
∠ACE=(90°﹣∠KDC)+∠DCE=135°﹣∠KDC,
∴∠EDF=∠ACE,
∵DF=AB,AB=AC,
∴DF=AC
在△EDF和△ECA中,
,
∴△EDF≌△ECA,
∴EF=EA,∠FED=∠AEC,
∴∠FEA=∠DEC=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴AF=AE.
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【題目】如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成,觀察規(guī)律并完成各題的解答.
(1)表中第6行的最后一個數(shù)是 ,第n行的最后一個數(shù)是 ;
(2)若用(a,b)表示一個數(shù)在數(shù)表中的位置,如9的位置是(4,3),則168的位置是 .
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【題目】某工程承包方指定由甲、乙兩個工程隊完成某項工程,若由甲工程隊單獨(dú)做需要40天完成,現(xiàn)在甲、乙兩個工程隊共同做20天后,由于甲工程隊另有其它任務(wù)不再做該工程,剩下工程由乙工程隊再單獨(dú)做了20天才完成任務(wù).
(1)求乙工程隊單獨(dú)完成該工程需要多少天?
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①4ac<b2;
②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④當(dāng)y>0時,x的取值范圍是﹣1≤x<3
⑤當(dāng)x<0時,y隨x增大而增大
其中結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
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A. 支出20元 B. 支出80元 C. 收入20元 D. 收入80元
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根據(jù)統(tǒng)計圖的信息,解答下列問題:
(1)求本次抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)及a、b的值;
(2)將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(3)若該校共有1300名學(xué)生,試估計全校選擇“音樂舞蹈”社團(tuán)的學(xué)生人數(shù).
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(1)按要求填表:
n | 1 | 2 | 3 |
xn |
(2)第n個正方形的邊長xn= ;
(3)若m,n,p,q是正整數(shù),且xmxn=xpxq,試判斷m,n,p,q的關(guān)系.
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