【題目】問(wèn)題提出
(1)如圖①,已知線段AB,請(qǐng)以AB為斜邊,在圖中畫出一個(gè)直角三角形;
(2)如圖②,已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn),點(diǎn)B、C均在直線l上,AD⊥l且AD=3,∠BAC=60°,求△ABC面積的最小值;
問(wèn)題解決
(3)如圖③,某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草,在四邊形ABCD中,∠A=45°,∠B=∠D=90°,CB=CD=6m,點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn),若保持CE⊥CF,那么四邊形AECF的面積是否存在最大值?若存在,請(qǐng)求出面積的最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)存在,72m2
【解析】
(1)構(gòu)造輔助圓,利用直徑所對(duì)圓周角為直角解決問(wèn)題即可.
(2)作△ABC的外接圓⊙O,連接OA,OB,OC,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E,根據(jù)垂線段最短得到AO+OE≥AD,從而算出BC的最大值,即可得到結(jié)果;
(3)分別延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)M,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出四邊形ABCD的面積,將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到△CDE′,得到A、D、E′三點(diǎn)共線,從而得到當(dāng)S△CE′F取得最小值時(shí),S四邊形AECF取得最大值,以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F,設(shè)△CE′F的外接圓半徑為rm,求出r的取值范圍,得到當(dāng)點(diǎn)O在CD上時(shí),E′F最短,從而可以求出四邊形AECF面積的最大值.
解:(1)如圖,Rt△ACB即為所求.
(2)如圖,作△ABC的外接圓⊙O,連接OA,OB,OC,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E,
則∠BOC=2∠BAC,OA=OB=OC,BE=CE=BC,
∵∠BAC=60°,
∴∠BOC=120°,∠OBC=∠OCB=30°,
設(shè)OA=OB=OC=r,
則OE=r,BC=2BE=r,
∵AO+OE≥AD,AD=3,
∴r+r≥3,
解得r≥2,
∴BC=r≥,
∴S△ABC=BC·AD≥××3=,
∴△ABC面積的最小值為.
(3)存在;如圖,分別延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)M,
則△ADM、△CBM均為等腰直角三角形,
∵CB=CD=6m,
∴BM=6m,CM=m,AD=DM=(6+)m,
∴S四邊形ABCD
=S△ADM-S△CBM
=DM2-BC2
=×(6+)2-×62
=(36+)m2.
將△CBE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到△CDE′,
則A、D、E′三點(diǎn)共線.
∴S四邊形AECF=S四邊形ABCD–(S△CBE+S△CDF)=S四邊形ABCD–S△CE′F
∵S四邊形ABCD為定值,
∴當(dāng)S△CE′F取得最小值時(shí),S四邊形AECF取得最大值.
∵∠E′CF=135°-90°=45°,
∴以E′F為斜邊作等腰Rt△OE′F,
則△CE′F的外接圓是以點(diǎn)O為圓心,OF長(zhǎng)為半徑的圓,
設(shè)△CE′F的外接圓半徑為rm,
∴E′F=rm,
又∵OC+OD≥CD,
∴r+r≥6,
∴r≥12-,
當(dāng)點(diǎn)O在CD上時(shí),E′F最短,此時(shí)E′F=r=(-12)m,
∴S△CE′F最小=×(-12)×6=(-36)m2,
∴S四邊形AECF最大=S四邊形ABCD-S△CE’F最小=36+-(-36)=72m2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小組在一次“在線測(cè)試”中做對(duì)的題數(shù)分別是10,8,6,9,8,7,8,對(duì)于這組數(shù)據(jù),下列判斷中錯(cuò)誤的是( )
A.眾數(shù)是8B.中位數(shù)是8C.平均數(shù)是8D.方差是8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校要求八年級(jí)同學(xué)在課外活動(dòng)中,必須在五項(xiàng)球類(籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活動(dòng)中任選一項(xiàng)(只能選一項(xiàng))參加訓(xùn)練,為了了解八年級(jí)學(xué)生參加球類活動(dòng)的整體情況,現(xiàn)以八年級(jí)2班作為樣本,對(duì)該班學(xué)生參加球類活動(dòng)的情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制了如圖所示的不完整統(tǒng)計(jì)表和扇形統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)a= ,b= ;
(2)該校八年級(jí)學(xué)生共有600人,則該年級(jí)參加足球活動(dòng)的人數(shù)約 人;
(3)該班參加乒乓球活動(dòng)的5位同學(xué)中,有3位男同學(xué)(A,B,C)和2位女同學(xué)(D,E),現(xiàn)準(zhǔn)備從中選取兩名同學(xué)組成雙打組合,用樹(shù)狀圖或列表法求恰好選出一男一女組成混合雙打組合的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O為AB上一點(diǎn),以O為圓心,AO為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.
(1)求證:BC與⊙O相切;
(2)若BD=AD=,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校根據(jù)課程設(shè)置要求,開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)類拓展性課程,為了解學(xué)生最喜歡的課程內(nèi)容,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查(每人必須且只選中其中一項(xiàng)),并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖(不完整),請(qǐng)根據(jù)圖中信息回答問(wèn)題:
(1)求m,n的值.
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.
(3)該校共有1200名學(xué)生,試估計(jì)全校最喜歡“數(shù)學(xué)史話”的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8臺(tái),為了配合國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策的實(shí)施,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.調(diào)查表明:這種冰箱的售價(jià)每降低50元,平均每天就能多售出4臺(tái).
(1)假設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元,商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)是y元,請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;(不要求寫自變量的取值范圍)
(2)商場(chǎng)要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元,同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠,每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少元?
(3)每臺(tái)冰箱降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】年新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái),每天測(cè)體溫成為一種制度,手持紅外測(cè)溫槍成為緊俏商品.某經(jīng)銷店承諾對(duì)所有商品明碼標(biāo)價(jià),絕不哄抬物價(jià).如下表所示是該店甲、乙兩種手持紅外測(cè)溫槍的進(jìn)價(jià)和售價(jià):
商品 價(jià)格 | 甲 | 乙 |
進(jìn)件(元個(gè)) | ||
售價(jià)(元個(gè)) |
該店有一批用元購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種手持紅外測(cè)溫槍庫(kù)存,預(yù)計(jì)全部銷售后可獲毛利潤(rùn)共元.[毛利潤(rùn)(售價(jià)進(jìn)價(jià))銷售量]
(1)該店庫(kù)存的甲、乙兩種手持紅外測(cè)溫槍分別為多少個(gè)?
(2)根據(jù)銷售情況,該店計(jì)劃增加甲種手持紅外測(cè)溫槍的購(gòu)進(jìn)量,減少乙種手持紅外測(cè)溫槍的購(gòu)進(jìn)量.已知甲種手持紅外測(cè)溫槍增加的數(shù)量是乙種手持紅外測(cè)溫槍減少的數(shù)量的倍,進(jìn)貨價(jià)不變,而且用于購(gòu)進(jìn)這兩種手持紅外測(cè)溫槍的總資金不超過(guò)元,則該店怎樣進(jìn)貨,可使全部銷售后獲得的毛利潤(rùn)最大?并求出最大毛利潤(rùn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+mx(m<0)交x軸于O,A兩點(diǎn),頂點(diǎn)為點(diǎn)B.
(1)求△AOB的面積(用含m的代數(shù)式表示);
(2)直線y=kx+b(k>0)過(guò)點(diǎn)B,且與拋物線交于另一點(diǎn)D(點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合),交y軸于點(diǎn)C.過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交x軸于點(diǎn)E.
(。 若∠OBA=90°,2<<3,求k的取值范圍;
(ⅱ) 求證:DE∥y軸.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,∠A=90°.
(1)請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出⊙P,使圓心P在AC邊上,且與AB,BC兩邊都相切(保留作圖痕跡,不寫作法和證明);
(2)在(1)的條件下,若∠B=45°,AB=1,⊙P切BC于點(diǎn)D,求劣弧的長(zhǎng).
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