【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A(﹣3,0)、B(2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E(m,2)是直線AC上方的拋物線上一點(diǎn),連接EA、EB、EC,EB與y軸交于D.
①點(diǎn)F是x軸上一動(dòng)點(diǎn),連接EF,當(dāng)以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似時(shí),求出線段EF的長(zhǎng);
②點(diǎn)G為y軸左側(cè)拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)G作直線CE的垂線,垂足為H,若∠GCH=∠EBA,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x+3;(2)①EF的長(zhǎng)為2或2;②點(diǎn)H的坐標(biāo)為(﹣,)或(﹣).
【解析】
(1)用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可;
(2)①得出,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),可求出的長(zhǎng);
②(Ⅰ)求出直線的解析式為,得出,則,得出,由,設(shè),則,,則,解得,,可求出點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),證得,由(Ⅰ)知:,則,設(shè),則,證明,則,,又,得出,代入中,得,可求出點(diǎn)坐標(biāo).
解:(1)將A(﹣3,0)、B(2,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c得,
,
解得:,
∴拋物線的解析式為:y=﹣x+3;
(2)①將E(m,2)代入y=﹣x+3中,
得﹣m+3=0,解得m=﹣2或1(舍去),
∴E(﹣2,2),
∵A(﹣3,0)、B(2,0),
∴AB=5,AE=,BE=2,
∴AB2=AE2+BE2,
∴∠AEB=∠DOB=90°,
∴∠EAB+∠EBA=∠ODB+∠EBA=90°,
∴∠EAB=∠ODB,
(Ⅰ)當(dāng)△FEA∽△BOD時(shí),
∴∠AEF=∠DOB=90°,
∴F與B點(diǎn)重合,
∴EF=BE=2,
(Ⅱ)當(dāng)△EFA∽△BOD時(shí),
∴∠AFE=∠DOB=90°,
∵E(﹣2,2),
∴EF=2,
故:EF的長(zhǎng)為2或2;
②點(diǎn)的坐標(biāo)為,或,,
(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)H作HN⊥CO于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)G作GM⊥HN于點(diǎn)M,
∴∠GMN=∠CNH=90°,
又∠GHC=90°,
∴∠CHN+∠GHM=∠MGH+∠GHM=90°,
∴∠CHN=∠MGH,
∵HN⊥CO,∠COP=90°,
∴HN∥AB,
∴∠CHN=∠APE=∠MGH,
∵E(﹣2,2),C(0,3),
∴直線CE的解析式為y=x+3,
∴P(﹣6,0),
∴EP=EB=2,
∴∠APE=∠EBA,
∵∠GCH=∠EBA,
∴∠GCH=∠APE=∠EBA=∠CHN=∠MGH,
∴GC∥PB,
又C(0,3),
∴G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,代入y=﹣x+3中,得:x=﹣1或0(舍去),
∴MN=1,
∵∠AEB=90°,AE=,BE=2,
∴tan∠EBA=tan∠CHN=tan∠MGH=,
設(shè)CN=MG=m,則HN=2m,MH=m,
∴MH+HN=2m+m=1,
解得,m=,
∴H點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣,代入y=x+3,得:y=,
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(﹣,).
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)H作MN⊥PB,過(guò)點(diǎn)C作CN⊥MH于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)G作GM⊥HM于點(diǎn)M,
∴CN∥PB,
∴∠NCH=∠APE,
由(Ⅰ)知:∠APE=∠EBA,則∠NCH=∠EBA,
∵∠GMN=∠CNH=90°,
又∠GHC=90°,
∴∠HCN+∠NHC=∠MHG+∠NHC=90°,
∴∠HCN=∠MHG,
∵∠GCH=∠EBA,
∴∠GCH=∠EBA=∠HCN=∠MHG,
由(Ⅰ)知:,則,
,
又,
,
,
,
,
由(Ⅰ)知:,
則,
設(shè),則,
,,
,
,
,,又,
,代入中,得,或0(舍去),
,
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,代入,得,.
點(diǎn)的坐標(biāo)為.
綜合以上可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),按A→B→C的方向在AB和BC上移動(dòng),記PA=x,點(diǎn)D到直線PA的距離為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】新冠肺炎疫情期間,某小區(qū)計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種品牌的消毒劑,乙品牌消毒劑每瓶的價(jià)格比甲品牌消毒劑每瓶?jī)r(jià)格的3倍少50元,已知用300元購(gòu)買甲品牌消毒劑的數(shù)量與用400元購(gòu)買乙品牌消毒劑的數(shù)量相同.
(1)求甲、乙兩種品牌消毒劑每瓶的價(jià)格各是多少元?
(2)若該小區(qū)從超市一次性購(gòu)買甲、乙兩種品牌的消毒劑共40瓶,且總費(fèi)用為1400元,求購(gòu)買了多少瓶乙品牌消毒劑?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校舉行“漢字聽(tīng)寫”比賽,每位學(xué)生聽(tīng)寫漢字40個(gè),比賽結(jié)束后隨機(jī)抽查部分學(xué)生聽(tīng)寫“正確的字?jǐn)?shù)”,以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)圖表.
頻數(shù)分布表
組別 | 正確的字?jǐn)?shù) | 人數(shù) |
0.5~8.5 | 10 | |
8.5~16.5 | 15 | |
16.5~24.5 | 25 | |
24.5~32.5 | ||
32.5~40.5 |
根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題:
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“組”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是_________;
(3)若該校共有1210名學(xué)生,如果聽(tīng)寫正確的字?jǐn)?shù)少于25,則定為不合格;請(qǐng)你估計(jì)這所學(xué)校本次比賽聽(tīng)寫不合格的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D,連接CD,BD得到△CDB,如果等邊△ABC內(nèi)每一點(diǎn)被取到的可能性都相同,則△CBD是鈍角三角形的概率是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解高校學(xué)生對(duì)5G移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)的消費(fèi)意愿,從在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查,下面是大學(xué)生用戶分類情況統(tǒng)計(jì)表和大學(xué)生愿意為5G套餐多支付的費(fèi)用情況統(tǒng)計(jì)圖(例如,早期體驗(yàn)用戶中愿意為5G套餐多支付10元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的50%).
用戶分類 | 人數(shù) |
A:早期體驗(yàn)用戶(目前已升級(jí)為5G用戶) | 260人 |
B:中期跟隨用戶(一年內(nèi)將升級(jí)為5G用戶) | 540人 |
C:后期用戶(一年后才升級(jí)為5G用戶) | 200人 |
下列推斷中,不合理的是( )
A.早期體驗(yàn)用戶中,愿意為5G套餐多支付10元,20元,30元的人數(shù)依次遞減
B.后期用戶中,愿意為5G套餐多支付20元的人數(shù)最多
C.愿意為5G套餐多支付10元的用戶中,中期跟隨用戶人數(shù)最多
D.愿意為5G套餐多支付20元的用戶中,后期用戶人數(shù)最多
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,半圓O的直徑AB=6cm,點(diǎn)M在線段AB上,且BM=1cm,點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AN⊥直線PM,垂足為點(diǎn)N.
小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)線段AN,MN,PM的長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.下面是小東的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)對(duì)于點(diǎn)P在上的不同位置,畫圖、測(cè)量,得到了線段AN,MN,PM的長(zhǎng)度的幾組值,如表:
位置1 | 位置2 | 位置3 | 位置4 | 位置5 | 位置6 | 位置7 | |
AN/cm | 0.00 | 3.53 | 4.58 | 5.00 | 4.58 | 4.00 | 0.00 |
MN/cm | 5.00 | 3.53 | 2.00 | 0.00 | 2.00 | 3.00 | 5.00 |
PM/cm | 1.00 | 1.23 | 1.57 | 2.24 | 3.18 | 3.74 | 5.00 |
在AN,MN,PM的長(zhǎng)度這三個(gè)量中,確定 的長(zhǎng)度是自變量, 和 的長(zhǎng)度都是這個(gè)自變量的函數(shù);
(2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中,畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,解決問(wèn)題:當(dāng)AN=MN時(shí),PM的長(zhǎng)度約為 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2015﹣2016年CBA聯(lián)賽,吉林九臺(tái)農(nóng)商行隊(duì)把長(zhǎng)春體育館作為自己的主場(chǎng),小球迷“球球”對(duì)自己學(xué)校部分學(xué)生對(duì)去賽場(chǎng)為球隊(duì)加油助威進(jìn)行了抽樣調(diào)查,根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表.(調(diào)查情況說(shuō)明:A:特別愿意去;B:愿意去;C:去不去都行;D:不愿意去)
(1)求出不愿意去的學(xué)生的人數(shù)占被調(diào)查總?cè)藬?shù)的百分比;
(2)求出扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所在的扇形圓心角的度數(shù);
(3)若該校學(xué)生共有2000人,請(qǐng)你估計(jì)特別愿意去加油助威的學(xué)生共有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】運(yùn)用語(yǔ)音識(shí)別輸入統(tǒng)計(jì)可以提高文字輸入的速度,為了解A,B兩種語(yǔ)音識(shí)別輸入軟件的可讀性,小秦同學(xué)隨機(jī)選擇了20段話,其中每段話都含有100個(gè)字(不計(jì)標(biāo)點(diǎn)符號(hào)),在保持相同條件下,標(biāo)準(zhǔn)普通話來(lái)測(cè)試兩種語(yǔ)音識(shí)別輸入軟件的準(zhǔn)確性,整個(gè)測(cè)試分析過(guò)程如下,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
(1)收集數(shù)據(jù):兩種軟件每次識(shí)別正確的字?jǐn)?shù)記錄如下:
(2)整理,描述數(shù)據(jù):根據(jù)上面得到的兩組樣本數(shù)據(jù),繪制了分布直方圖
(3)分析數(shù)據(jù):兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),眾數(shù),中位數(shù),方差如下表所示
平均數(shù) | 眾數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
A | 84.7 | 84.5 | 88.91 | |
B | 83.7 | 96 | 184.01 |
(4)得出結(jié)論:根據(jù)以上信息.判斷____種語(yǔ)音識(shí)別輸入軟件的準(zhǔn)確性較好,理由如下._______________(至少?gòu)膬蓚(gè)不同的角度說(shuō)明判斷的合理性) .
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