Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ，當(dāng)△CQE的面積為3時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）.問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)、y＝-x2+x+4；(2)、Q(1,0)；(3)、P(1＋，2 )或P(1－，2 )或P(1＋，3)或P（1－，3).

【解析】試題分析：（1）、首先將A、C兩點(diǎn)代入求出函數(shù)解析式；（2）、首先根據(jù)函數(shù)解析式得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，求出AB和BQ的長度，根據(jù)QE∥AC得出△BQE和△BAC相似得出EG的長度，然后根據(jù)三角形的面積得出點(diǎn)m的值，即得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）、根據(jù)DO=DF，FO=FD，OD=OF三種情況分別進(jìn)行計(jì)算，得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：（1）由題意，得，解得， ∴所求拋物線的解析式為y＝-x2+x+4

（2）如圖，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，由-x2+x+4＝0，

得x1=-2，x2=4,∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0） ，∴AB=6，BQ=" m" +2

∵QE∥AC， ∴△BQE∽△BAC ，∴= 即=，∴EG=

∴ S△CQE＝S△CBQ－S△EBQ＝BQ·CO－BQ·EG =（m+2）（4－） =-m2+m+=3,

∴ m2－2m－8＝-9, ∴m=1 ∴Q（1，0）

（3）存在

在△ODF中，

①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），∴AD=OD=DF=2,又在Rt△AOC中，OA=OC=4，∴∠OAC= 45°

∴∠DFA=∠OAC= 45°∴∠ADF=90°此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2）

由，得x1=1＋，x2=1－

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1＋，2 ）或P（1－，2 ）

②如圖，

若FO=FD，過點(diǎn)F作FM⊥ 軸于點(diǎn)M，由等腰三角形的性質(zhì)得：OM＝OD＝1,∴AM=3

∴在等腰直角三角形△AMF中，MF=AM=3 ∴F（1，3）

由-x2+x+4＝3，得x1=1＋，x2=1－

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1＋，3）或P（1－，3）

③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，∴AC= 4

∴點(diǎn)O到AC的距離為2，而OF=OD=2＜2

此時(shí)，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形.

綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形.所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

P（span>1＋，2 ）或P（1－，2 ）或P（1＋，3）或P（1－，3）