【題目】如圖1,點C將線段AB分成部分,如果,那么稱點C為線段AB的黃金分割點。某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時,由黃金分割點聯(lián)想到“黃金分割線”,類似地給出“黃金分割線”的定義:直線l將一個面積為S的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為S1,S2,如果,那么稱直線l為該圖形的黃金分割線。

(1)研究小組猜想:在△ABC中,若點D為AB邊上的黃金分割點(如圖2),則直線CD是△ABC的黃金分割線。你認(rèn)為對嗎?為什么?

(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線?

(3)研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn):過點C任作一條直線交AB于點E,再過點D作直線DF∥CE,交AC于點F,連接EF(如圖3),則直線EF也是△ABC的黃金分割線。請說明理由。

(4)如圖4,點E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點,過點E作EF∥AD,交DC于點F,顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線,請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線,使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點.

【答案】(1)直線CD是△ABC的黃金分割線.理由見解析;(2)三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線.理由見解析;(3)理由見解析;(4)作圖見解析.

【解析】試題分析:(1)若點DAB邊上的黃金分割點,則有.如果設(shè)ABC的邊AB上的高為h,根據(jù)三角形的面積公式,易得, ,即有,根據(jù)圖形的黃金分割線的定義即可判斷;

2由于等底同高的兩個三角形的面積相等,所以三角形任意一邊上的中線都將三角形分成面積相等的兩部分,即有s1s2s,則,從而可知三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線;

3)由于直線CDABC的黃金分割線,所以.要想說明直線EF也是ABC的黃金分割線,只需證明,即證SADC=SAEFSBDC=S四邊形BEFC即可.因為DFCE,所以DFCDFE的公共邊DF上的高也相等,所以有SDFC=SDFE,所以SADC=SADF+SDFC=SADF+SDFE=SAEF,SBDC=S四邊形BEFC

4)根據(jù)黃金分割線的定義即可作出.本題答案不唯一,作法有無數(shù)種.

試題解析:1)直線CDABC的黃金分割線.理由如下:

設(shè)ABC的邊AB上的高為h

SADCADhSBDCBDh,SABCABh,

,

又∵點D為邊AB的黃金分割點,

故直線CDABC的黃金分割線.

2∵三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分,

s1s2s,則,

故三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線.

3DFCE

∴△DFCDFE的公共邊DF上的高也相等,

SDFC=SDFE

SADC=SADF+SDFC=SADF+SDFE=SAEF,SBDC=S四邊形BEFC

又∵.,

因此,直線EF也是ABC的黃金分割線.

4)畫法不惟一,現(xiàn)提供兩種畫法;

畫法一如答圖1,取EF的中點G,再過點G作一條直線分別交AB,DCM,N點,則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線.

畫法二:如答圖2,在DF上取一點N,連接EN,再過點FFMNEAB于點M,連接MN,則直線MN就是平行四邊形ABCD的黃金分割線.

練習(xí)冊系列答案
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