【題目】如圖1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°,點(diǎn)E在AB上,F(xiàn)是線段BD的中點(diǎn),連接CE、FE.
(1)若AD=3,BE=4,求EF的長(zhǎng);
(2)求證:CE=EF;
(3)將圖1中的△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上(如圖2),連接BD,取BD的中點(diǎn)F,問(wèn)(2)中的結(jié)論是否仍然成立,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)EF =2.5;(2)證明見(jiàn)解析;(3)(1)中的結(jié)論仍然成立.理由見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是直角邊的 倍,得到DE=3由于BE=4,利用勾股定理,得BD=5,再利用直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半,得以解決;
(2)連接CF,需要證明 是等腰直角三角形,根據(jù)四點(diǎn)共圓,得到點(diǎn)F是四邊形DCBE的外接圓,且F是圓心,根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍,得 從而 ,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半,得 ,得證 是等腰直角三角形,結(jié)論得證;
(3)連接CF,延長(zhǎng)EF交CB于點(diǎn)G,利用ASA證明△EDF≌△GBF,得出EF=GF,BG=DE=AE,進(jìn)而證明CE=CG,得出△CEF為等腰直角三角形,利用三線合一證明 結(jié)論得證。
試題解析:
(1)∵∠AED=90°,AE=DE,AD=3,
∴AE=DE=3,
在Rt△BDE中,
∵DE=3,BE=4,
∴BD=5,
又∵F是線段BD的中點(diǎn),
∴EF=BD=2.5;
(2)連接CF,線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=FE;
∵∠AED=∠ACB=90°
∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓
且BD是該圓的直徑,
∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),
∴點(diǎn)F是圓心,
∴EF=CF=FD=FB,
∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF,
由圓周角定理得:∠DCE=∠DBE,
∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°
∴∠ECF=45°=∠CEF,
∴△CEF是等腰直角三角形,
∴CE=EF.
(3)(1)中的結(jié)論仍然成立.
如圖,連接CF,延長(zhǎng)EF交CB于點(diǎn)G,
∵∠ACB=∠AED=90°,
∴DE∥BC,
∴∠EDF=∠GBF,
在△EDF和△GBF中,
,
∴△EDF≌△GBF,
∴EF=GF,BG=DE=AE,
∵AC=BC,
∴CE=CG,
∴∠EFC=90°,CF=EF,
∴△CEF為等腰直角三角形,
∴∠CEF=45°,
∴CE=FE;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,已知點(diǎn)A(-2,0).點(diǎn)D在y軸上,連接AD并將它沿x軸向右平移至BC的位置,且點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),連接CD,OD=AB.
(1)線段CD的長(zhǎng)為 ,點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ;
(2)如圖2,若點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿著x軸向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)N從原點(diǎn)O出發(fā),以相同的速度沿折線OD→DC運(yùn)動(dòng)(當(dāng)N到達(dá)點(diǎn)C時(shí),兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)).假設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①t為何值時(shí),MN∥y軸;
②求t為何值時(shí),S△BCM=2S△ADN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:已知AB=10,點(diǎn)C、D在線段AB上且AC=DB=2; P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn),分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB,連結(jié)EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為G;當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且DE∥AC,CE∥BD.
(1)求證:四邊形OCED是菱形;
(2)若AB=3,AD=4,求四邊形OCED的周長(zhǎng)和面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】課前預(yù)習(xí)是學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié),為了了解所教班級(jí)學(xué)生完成課前預(yù)習(xí)的具體情況,某班主任對(duì)本班部分學(xué)生進(jìn)行了為期半個(gè)月的跟蹤調(diào)查,他將調(diào)查結(jié)果分為四類(lèi):A.優(yōu)秀,B.良好,C.一般,D.較差,并將調(diào)查結(jié)果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)本次調(diào)查的樣本容量是 ;其中A類(lèi)女生有 名,D類(lèi)學(xué)生有 名;
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若從被調(diào)查的A類(lèi)和D類(lèi)學(xué)生中各隨機(jī)選取一位學(xué)生進(jìn)行“一幫一”輔導(dǎo)學(xué)習(xí),即A類(lèi)學(xué)生輔導(dǎo)D類(lèi)學(xué)生,請(qǐng)用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求出所選兩位同學(xué)中恰好是一位女同學(xué)輔導(dǎo)一位男同學(xué)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在正方形外取一點(diǎn),連接、、.過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn).若,.下列結(jié)論:①;②點(diǎn)到直線的距離為;③;④;⑤;其中正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠MON=ɑ(0°<ɑ<180°),點(diǎn)A.B分別在OM、ON上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O重合).
(1)如圖1,∠MON=90°,BC是∠ABN的平分線,BC的反方向延長(zhǎng)線與∠BAO的平分線交與點(diǎn)D.
①若∠BAO=60°,則∠D=___.
②猜想:∠D的度數(shù)是否隨A,B的移動(dòng)發(fā)生變化?并說(shuō)明理由。
(2)如圖2,∠MON=α(0°<α<180°)”,∠ABC=∠ABN,∠BAD=∠BAO,其余條件不變,則∠D=___°(用含α、n的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市舉行“第十七屆中小學(xué)生書(shū)法大賽”作品比賽,已知每幅參賽作品成績(jī)記為,組委會(huì)從1000幅書(shū)法作品中隨機(jī)抽取了部分參賽作品,統(tǒng)計(jì)了它們的成績(jī),并繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖表.
分?jǐn)?shù)段 | 頻數(shù) | 百分比 |
38 | 0.38 | |
| 0.32 | |
|
| |
10 | 0.1 | |
合計(jì) | 100 | 1 |
書(shū)法作品比賽成績(jī)頻數(shù)直方圖
根據(jù)上述信息,解答下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)你把表中空白處的數(shù)據(jù)填寫(xiě)完整.
(2)請(qǐng)補(bǔ)全書(shū)法作品比賽成績(jī)頻數(shù)直方圖.
(3)若80分(含80分)以上的書(shū)法作品將被評(píng)為等級(jí)獎(jiǎng),試估計(jì)全市獲得等級(jí)的幅數(shù).
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