Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2-x+c經(jīng)過原點(diǎn)O與點(diǎn)A（6，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，交直線y=2x-2于點(diǎn)C，且直線y=2x-2與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x-2的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)A′是否在拋物線上，并說明理由；

（3）點(diǎn)P（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段CA′于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長為l，求l與x的函數(shù)關(guān)系式及l的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2-x．點(diǎn)C坐標(biāo)（6，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，0）；（2）在；（3）l=-x2+x+，最大值為．

【解析】

（1）把O、A代入拋物線解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐標(biāo)，根據(jù)A、C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，即可求出點(diǎn)C坐標(biāo)．

（2）過點(diǎn)A′作AF⊥x軸于點(diǎn)F，求出A′F、FO即可解決問題．

（3）設(shè)點(diǎn)P（x，x2-x），先求出直線A′C的解析式，再構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

（1）把點(diǎn)O（0，0），A（6，0）代入y=ax2-x+c，得

，解得，

∴拋物線解析式為y=x2-x．

當(dāng)x=6時(shí)，y=2×6-2=10，

當(dāng)y=0時(shí)，2x-2=0，解得x=1，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)（6，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，0）；

（2）過點(diǎn)A′作AF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)D（1，0），A（6，0），可得AD=5，

在Rt△ACD中，CD==5，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線y=2x-2對稱，

∴∠AED=90°，

∴S△ADC=×5AE=×5×10，

解得AE=2，

∴AA′=2AE=4，DE=，

∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，

∴△ADE∽△AA′F，

∴，

解得AF=4，A′F=8，

∴OF=8-6=2，

∴點(diǎn)A′坐標(biāo)為（-2，4），

當(dāng)x=-2時(shí)，y=×4-×（-2）=4，

∴A′在拋物線上．

（3）∵點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P（x，x2-x），

設(shè)直線A′C的解析式為y=kx+b，

∵直線A經(jīng)過A′（-2，4），C（6，10）兩點(diǎn)，

∴，解得，

∴直線A′C的解析式為y=x+，

∵點(diǎn)Q在直線A′C上，PQ∥AC，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，x+），

∵PQ∥AC，又點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方，

∴l=（x+）-（x2-x）=-x2+x+，

∴l與x的函數(shù)關(guān)系式為l=-x2+x+，（-2＜x≤6），

∵l=-x2+x+=-（x-）2+，

∴當(dāng)x=時(shí)，l的最大值為．