Question

5．如圖，已知Rt△ABC的內(nèi)切圓⊙I分別切兩直角邊AC、BC于點(diǎn)D、E，AI、BI分別與直線DE交于點(diǎn)F、G．求證：
（1）BE+AD=AB；
（2）DF²+EG²=FG²；
（3）AB²=2FG²．

Answer 1

分析 （1）直接利用切線長(zhǎng)定理求證即可；
（2）先求出∠AIB=135°，再利用等式的性質(zhì)判斷出∠DIG=∠IFE，從而得到△IEF∽△GDI，得出DG×EF=ID²，用線段的和，差代換求出結(jié)論；
（3）先判斷出A，I，D，G四點(diǎn)共圓，從而得出AI=$\sqrt{2}$IG，再判斷出∠ABI=∠IFE，得出△AIB∽△GIF，即：$\frac{AB}{GF}=\frac{AI}{IG}$=$\frac{\sqrt{2}IG}{IG}$=$\sqrt{2}$，即可．

解答 證明：（1）如圖，記AB切△ABC的內(nèi)切圓于H，

∵AB，AC切⊙I于H，D，
∴AH=AD，
∵AB，BC切⊙I于H，E，
∴BH=BE，
∴AB=BH+AH=BE+AD；
（2）如圖1，

連接ID，IE，
∵AC，BC切⊙I于D，E，
∴CD=CE，∠IDC=∠IEC=90°，
∴四邊形CDIE是正方形，
∴∠DIE=90°，
∵DE是正方形CDIE的對(duì)角線，
∴DE=$\sqrt{2}$ID=$\sqrt{2}$IE，∠IED=∠IDE=45°，
∴∠EIF+∠IFE=45°，∠IEF=∠IDG=∠CDE=135°，
∵I是Rt△ABC的內(nèi)切圓的圓心，
∴AI，BI是∠BAC和∠ABC的角平分線，
∴∠ABI=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ABI+∠BAI=45°，
∴∠AIB=135°，
∴∠FIG=∠AIB=135°，
∵∠DIE=90°，
∴∠DIG+∠EIF=45°
∵∠EIF+∠IFE=45°，
∴∠DIG=∠IFE，
∵∠IEF=∠IDG=135°，
∴△IEF∽△GDI，
∴$\frac{IE}{DG}=\frac{EF}{ID}$，
∴DG×EF=ID×IE=ID²，
∵FG=DF+DG，
∴FG²=（DF+DG）²=DF²+DG²+2DF×DG，
∵EG=DE+DG，
∴EG²=（DE+DG）²=DE²+DG²+2DE×DG，
∴FG²-EG²=DF²+DG²+2DF×DG-（DE²+DG²+2DE×DG）
=DF²+DG²+2DF×DG-DE²-DG²-2DE×DG
=DF²+DG²-DE²-DG²+2DF×DG-2DE×DG
=DF²-DE²+2DG×（DF-DE）
=DF²-DE²+2DG×EF
=DF²-DE²+2ID²，
∵DE=$\sqrt{2}$ID
∴FG²-EG²=DF²，
∴DF²+EG²=FG²；
（3）如圖，連接AG，ID，

∵AC是⊙I的切線．
∴∠IDA=90°，
由（2）有，∠AIB=135°，
∴∠AIG=45°，
由（2）有，∠CDE=45°，
∴∠ADG=∠CDE=45°，
∴∠AIG=∠ADG=45°，
∴A，I，D，G四點(diǎn)共圓，（若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓）
∴∠AGD=∠IDA=90°，
∴AI=$\sqrt{2}$IG，
由（2）有，∠DIG=∠IFE，
∵∠ABI=∠CBI=∠DIG，
∴∠ABI=∠IFE，
∵∠AIB=∠GIF，
∴△AIB∽△GIF，
∴$\frac{AB}{GF}=\frac{AI}{IG}$=$\frac{\sqrt{2}IG}{IG}$=$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$GF，
∴AB²=2FG²．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，考查了四點(diǎn)共圓：若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓；若四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或其中一個(gè)外角等于其鄰補(bǔ)角的內(nèi)對(duì)角，則這四點(diǎn)共圓．也考查了正方形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)心的性質(zhì)、切線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷△IEF∽△GDI，判斷A，I，D，G四點(diǎn)共圓是解本題的難點(diǎn)．是一道難度比較大的試題．