Question

11．綜合與實踐
問題情境
   在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動，如圖1，將一張菱形紙片ABCD（∠BAD＞90°）沿對角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．
操作發(fā)現(xiàn)
（1）將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，使α=∠BAC，得到如圖2所示的△AC′D，分別延長BC和DC′交于點E，則四邊形ACEC′的形狀是菱形；
（2）創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，使α=2∠BAC，得到如圖3所示的△AC′D，連接DB，C′C，得到四邊形BCC′D，發(fā)現(xiàn)它是矩形，請你證明這個結(jié)論；
實踐探究
（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一個問題：將△AC′D沿著射線DB方向平移acm，得到△A′C′D′，連接BD′，CC′，使四邊形BCC′D恰好為正方形，求a的值，請你解答此問題；
（4）請你參照以上操作，將圖1中的△ACD在同一平面內(nèi)進行一次平移，得到△A′C′D，在圖4中畫出平移后構(gòu)造出的新圖形，標(biāo)明字母，說明平移及構(gòu)圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明．

Answer 1

分析 （1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)得出：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，進而利用菱形的判定方法得出答案；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)得出，四邊形BCC′D是平行四邊形，進而得出四邊形BCC′D是矩形；
（3）首先求出CC′的長，分別利用①點C″在邊C′C上，②點C″在C′C的延長線上，求出a的值；
（4）利用平移的性質(zhì)以及平行四邊形的判定方法得出答案．

解答 解：（1）如圖2，由題意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，
故AC′∥EC，AC∥C′E，
則四邊形ACEC′是平行四邊形，
故四邊形ACEC′的形狀是菱形；
故答案為：菱形；

（2）證明：如圖3，作AE⊥CC′于點E，
由旋轉(zhuǎn)得：AC′=AC，
則∠CAE=∠C′AE=$\frac{1}{2}$α=∠BAC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC，
∴∠CAE=∠BCA，
∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，
∴BC∥DC′，則∠BCC′=90°，
又∵BC=DC′，
∴四邊形BCC′D是平行四邊形，
∵∠BCC′=90°，
∴四邊形BCC′D是矩形；

（3）如圖3，過點B作BF⊥AC，垂足為F，
∵BA=BC，
∴CF=AF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×10=5，
在Rt△BCF中，BF=$\sqrt{B{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
在△ACE和△CBF中，
∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，
∴△ACE∽△CBF，
∴$\frac{CE}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{CE}{12}$=$\frac{10}{13}$，
解得：EC=$\frac{120}{13}$，
∵AC=AC′，AE⊥CC′，
∴CC′=2CE=2×$\frac{120}{13}$=$\frac{240}{13}$，
當(dāng)四邊形BCC′D′恰好為正方形時，分兩種情況：
①點C″在邊C′C上，a=C′C-13=$\frac{240}{13}$-13=$\frac{71}{13}$，
②點C″在C′C的延長線上，a=C′C+13=$\frac{240}{13}$+13=$\frac{409}{13}$，
綜上所述：a的值為：$\frac{71}{13}$或$\frac{409}{13}$；

（4）答案不唯一，
例：如圖4，畫出正確圖形，平移及構(gòu)圖方法：將△ACD沿著射線CA方向平移，平移距離為$\frac{1}{2}$AC的長度，
得到△A′C′D′，連接A′B，D′C，
結(jié)論：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，
∴四邊形A′BCD′是平行四邊形．

點評 此題主要考查了幾何變換綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定方法等知識，正確利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出CC′的長是解題關(guān)鍵．