Question

20．如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，以AB為直徑向正方形內(nèi)作半圓，P為半圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），當(dāng)PA=2$\sqrt{2}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$時(shí)，△PAD為等腰三角形．

Answer 1

分析 分別從當(dāng)PA=PD，PA=AD，AD=PD時(shí)，△PAD是等腰三角形討論，然后由等腰三角形的性質(zhì)與射影定理即可求得答案．

解答 解：①當(dāng)PA=PD時(shí)，
此時(shí)P位于四邊形ABCD的中心，
過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
則四邊形EAMP是正方形，
∴PM=PE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵PM²=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2$\sqrt{2}$，
②當(dāng)PA=AD時(shí)，PA=4（舍）；
③當(dāng)PD=DA時(shí)，以點(diǎn)D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點(diǎn)為點(diǎn)P．
連PD，令A(yù)B中點(diǎn)為O，再連DO，PO，DO交AP于點(diǎn)G，
則△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
設(shè)AG為2x，OG為x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴AG=2x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴PA=2AG=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$；
∴PA=2$\sqrt{2}$或4或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：2$\sqrt{2}$或$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．