Question

15．問題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$\sqrt{13}$，求這個三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．
（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上$\frac{7}{2}$；
（2）若△ABC三邊的長分別為$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$、$\sqrt{9{m}^{2}+4{n}^{2}}$、2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$（m＞0，n＞0，且m≠n），運用構(gòu)圖法可求出這三角形的面積為5mn．

Answer 1

分析 （1）$\sqrt{5}$是直角邊長為1，2的直角三角形的斜邊；$\sqrt{10}$是直角邊長為1，3的直角三角形的斜邊；$\sqrt{13}$是直角邊長為2，3的直角三角形的斜邊，把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積；
（2）結(jié)合（1）易得此三角形的三邊分別是直角邊長為m，4n的直角三角形的斜邊；直角邊長為3m，2n的直角三角形的斜邊；直角邊長為2m，2n的直角三角形的斜邊．同樣把它整理為一個矩形的面積減去三個直角三角形的面積可得．

解答 解：（1）S_△ABC=3×3-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×1×3=$\frac{7}{2}$；
（2）構(gòu)造△ABC如圖所示，

S_△ABC=3m×4n-$\frac{1}{2}$×m×4n-$\frac{1}{2}$×3m×2n-$\frac{1}{2}$×2m×2n=5mn．
故答案為：（1）$\frac{7}{2}$；（2）5mn．

點評 此題主要考查了勾股定理應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進行解答．