Question

6．已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（2，0），B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，6），其對(duì)稱軸為直線L．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線短兩端點(diǎn)的距離相等，可得PA=PB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得CB最短，根據(jù)勾股定理，可得CA、CB的長，根據(jù)實(shí)數(shù)的加法，可得答案．

解答 解：（1）將A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6；
（2）如圖，
A、B關(guān)于對(duì)稱軸，得
PA=PB．
AC=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
C_△PAC最小=CA+AP+PC=CA+（CP+PB）=2$\sqrt{10}$+6$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，利用了線段垂直平分線的性質(zhì)，利用線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．