Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點O在AC上，以OA為半徑的⊙O交AB于點D，BD的垂直平分線交BC于點E，交BD于點F，連接DE.

(1)判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由.

(2)若AC＝3，BC＝4，OA＝1，求線段DE的長.

Answer 1

【答案】(1)相切，理由見解析；(2).

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)圓的基本性質(zhì)與垂直平分線的性質(zhì)易得∠OAD=∠ODA，∠EDB=∠B，由∠OAD+∠B=90°，可得∠ODA+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，根據(jù)切線的判定即可得解；

（2）連接OE，設(shè)DE=BE=x，則CE=8-x，在Rt△ODE與Rt△OCE中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，然后求解方程即可.

解：（1）相切，理由如下：

如圖，連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵EF垂直平分BD，

∴DE=BE，

∴∠EDB=∠B，

∵∠C＝90°，

∴∠OAD+∠B=90°，

∴∠ODA+∠EDB=90°，

∴∠ODE=90°，

∴直線DE與⊙O相切；

（2）連接OE，

設(shè)DE=BE=x，則CE=4﹣x，

∵AC＝3， OA＝1，

∴OC=2，

在Rt△ODE與Rt△OCE中，

OD2+DE2=CE2+OC2=OE2，

12+x2=（4﹣x）2+22，

解得x=.