Question

1．如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C，對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，拋物線頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱軸向下以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？直接寫出所有符合條件的t值．

Answer 1

分析 （1）分別令y=x+3中x=0、y=0求出與之對(duì)應(yīng)的y、x的值，由此即可得出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）令拋物線解析式中y=0，求出x值，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用配方法找出拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，由此即可用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)．由點(diǎn)B、C、P的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出PC²、PB²和BC²，以P、B、C為頂點(diǎn)的直角三角形按三個(gè)角分別為直角即可分三種情況，在每種情況下根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于t的一元一次方程（或一元二次方程），解方程即可求出時(shí)間t．

解答 解：（1）令y=x+3中x=0，則y=3，
∴B（0，3）；
令y=x+3中y=0，則x=-3，
∴A（-3，0）．
將A（-3，0）、B（0，3）代入y=-x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）令y=-x²-2x+3中y=0，則-x²-2x+3=-（x-1）（x+3）=0，
解得：x=1，或x=-3，
∴B（1，0）．
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴D（-1，4），P（-1，4-t）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴PC²=（-1-1）²+（4-t）²=t²-8t+20，PB²=（-1）²+（4-t-3）²=t²-2t+2，BC²=1²+3²=10．
以P、B、C為頂點(diǎn)的直角三角形分三種情況（如圖所示）：
①當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，有PC²=PB²+BC²，
即t²-8t+20=t²-2t+2+10，
解得：t₁=$\frac{4}{3}$；
②當(dāng)∠BPC=90°時(shí)，有BC²=PC²+PB²，
即10=t²-8t+20+t²-2t+2，
解得：t₂=2，t₃=3；
③當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，有PB²=PC²+BC²，
即t²-2t+2=t²-8t+20+10，
解得：t₄=$\frac{14}{3}$．
綜上可知：當(dāng)t為$\frac{4}{3}$、2、3和$\frac{14}{3}$秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）分∠PBC=90°、∠BPC=90°和∠PCB=90°三種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用兩點(diǎn)間的距離公式找出三角形各邊長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理找出它們間的關(guān)系是關(guān)鍵．