解:(1)由y=kx-3,可知OC=3,
在Rt△OBC中,∵cos∠BCO

=

,
∴BC=

,OB=

=1,
將B((1,0))、C(0,-3)代入拋物線解析式,
得

,
解得

,
∴拋物線解析式為y=(x+1)
2-4;
(2)存在.由拋物線解析式得M(-1,-4),
設直線MN解析式為y=kx+b,則

,
解得

,
∴y=x-3,N(3,0),
△OCN為等腰直角三角形.
過N點作CN的垂線交y軸于(0,3),垂線解析式為y=-x+3.
聯(lián)立

,
得P點坐標為(

,

)或(

,

),
連接AC,則A(-3,0)點滿足題意,
∴P點坐標為(

,

)或(

,

)或(-3,0);
(3)設平移后拋物線解析式為y=(x+1)
2+m,
①當拋物線與直線MN只有一個交點時,聯(lián)立

,得x
2+x+m+4=0,
當方程組有一個解時,△=0,即1-4(m+4)=0,解得m=-

,
∴向上平移4-

=

個單位,
②當拋物線經(jīng)過N(3,0)時,(3+1)
2+m=0,解得m=-16,
當拋物線經(jīng)過Q(-3,-6)時,(-3+1)
2+m=-6,解得m=-10,
∴向下平移16-4=12個單位.
即拋物線向上最多可平移

個單位長度,向下最多可平移12個單位長度.
分析:(1)由直線解析式可知OC=3,在Rt△OBC中,根據(jù)cos∠BCO=

,解直角三角形可得OB=1,將B、C兩點坐標代入拋物線解析式,可確定拋物線解析式;
(2)存在.由拋物線解析式得M(-1,-4)得出直線MN解析式,根據(jù)△OCN的特殊性,分別過N、C兩點作CN的垂線,求出P點坐標;
(3)設平移后拋物線解析式為y=(x+1)
2+m,當拋物線與直線MN只有一個交點時,聯(lián)立拋物線與直線解析式,方程組有一個解,當拋物線經(jīng)過N、Q時,分別求m的值,確定平移的長度.
點評:本題考查了二次函數(shù)的綜合運用.關(guān)鍵是根據(jù)題意求出拋物線的解析式,得出相關(guān)點的坐標,根據(jù)圖形的特殊性求解.