Question

已知拋物線y=a（x+1）²+c（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，其頂點為M，已知直線MC的函數(shù)表達式為y=kx-3，與x軸的交點為N，且cos∠BCO=．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q，若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？

Answer 1

解：（1）由y=kx-3，可知OC=3，
在Rt△OBC中，∵cos∠BCO=，
∴BC=，OB==1，
將B（（1，0））、C（0，-3）代入拋物線解析式，
得，
解得，
∴拋物線解析式為y=（x+1）²-4；

（2）存在．由拋物線解析式得M（-1，-4），
設直線MN解析式為y=kx+b，則，
解得，
∴y=x-3，N（3，0），
△OCN為等腰直角三角形．
過N點作CN的垂線交y軸于（0，3），垂線解析式為y=-x+3．
聯(lián)立，
得P點坐標為（，）或（，），
連接AC，則A（-3，0）點滿足題意，
∴P點坐標為（，）或（，）或（-3，0）；

（3）設平移后拋物線解析式為y=（x+1）²+m，
①當拋物線與直線MN只有一個交點時，聯(lián)立，得x²+x+m+4=0，
當方程組有一個解時，△=0，即1-4（m+4）=0，解得m=-，
∴向上平移4-=個單位，
②當拋物線經(jīng)過N（3，0）時，（3+1）²+m=0，解得m=-16，
當拋物線經(jīng)過Q（-3，-6）時，（-3+1）²+m=-6，解得m=-10，
∴向下平移16-4=12個單位．
即拋物線向上最多可平移個單位長度，向下最多可平移12個單位長度．
分析：（1）由直線解析式可知OC=3，在Rt△OBC中，根據(jù)cos∠BCO=，解直角三角形可得OB=1，將B、C兩點坐標代入拋物線解析式，可確定拋物線解析式；
（2）存在．由拋物線解析式得M（-1，-4）得出直線MN解析式，根據(jù)△OCN的特殊性，分別過N、C兩點作CN的垂線，求出P點坐標；
（3）設平移后拋物線解析式為y=（x+1）²+m，當拋物線與直線MN只有一個交點時，聯(lián)立拋物線與直線解析式，方程組有一個解，當拋物線經(jīng)過N、Q時，分別求m的值，確定平移的長度．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合運用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求出拋物線的解析式，得出相關(guān)點的坐標，根據(jù)圖形的特殊性求解．